Цифрові фільтри (лекція). Практичне застосування перетворення Фур'є для аналізу сигналів. Введення для початківців Приклад розв'язання задачі в середовищі Matlab R2009a

У минулому столітті Іван Бернуллі, Леонард Ейлер, а потім і Жан-Батіст Фур'є вперше застосували подання періодичних функцій тригонометричними рядами. Це уявлення вивчається досить докладно в інших курсах, тому нагадаємо лише основні співвідношення та визначення.

Як зазначалося вище, будь-яку періодичну функцію u(t) , для якої виконується рівність u(t)=u(t+T) , де T=1/F=2p/W , можна уявити поруч Фур'є:

Кожен доданок цього ряду можна розкласти за формулою косинуса для різниці двох кутів і подати у вигляді двох доданків:

,

де: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , так що , а

Коефіцієнти А n і У n визначаються за формулами Ейлера:

;
.

При n=0 :

а B0 = 0.

Коефіцієнти А n і У n є середніми значеннями твору функції u(t) та гармонійного коливання з частотою nw на інтервалі тривалістю Т . Ми вже знаємо (розділ 2.5), що це функції взаємної кореляції, що визначають міру їхнього зв'язку. Отже, коефіцієнти A n і B n показують нам "скільки" синусоїди або косінусоїди з частотою nW міститься у цій функції u(t) , що розкладається в ряд Фур'є.

Таким чином, ми можемо уявити періодичну функцію u(t) у вигляді суми гармонійних коливань, де числа C n є амплітудами, а числа φ n - Фазами. Зазвичай у літературі називається спектром амплітуд, а - Спектром фаз. Часто розглядається лише спектр амплітуд, який зображується у вигляді ліній, розташованих у точках nW на осі частот і мають висоту, що відповідає числу C n . Однак слід пам'ятати, що для отримання однозначної відповідності між тимчасовою функцією u(t) та її спектром необхідно використовувати і спектр амплітуд, і спектр фаз. Це видно з такого простого прикладу. У сигналів і буде однаковий спектр амплітуд, але абсолютно різний виглядтимчасових функцій.

Дискретний спектр може мати як періодична функція. Наприклад, сигнал: не періодичний, але має дискретний спектр, що складається з двох спектральних ліній. Також не буде строго періодичним сигнал, що складається з послідовності радіоімпульсів (імпульсів з високочастотним заповненням), у яких період прямування постійний, але початкова фаза високочастотного заповнення змінюється від імпульсу до імпульсу за яким-небудь законом. Такі сигнали називаються майже періодичними. Як ми побачимо, вони також мають дискретний спектр. Дослідження фізичної природи спектрів таких сигналів ми будемо виконувати так само, як і періодичних.

В даний час відомі такі способи організації радіоканалів (радіотехнології): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Можливі їх поєднання (наприклад, FDMA/TDMA). Тимчасові терміни застосування цих технологій багато в чому збігаються з етапами розвитку систем рухомого зв'язку. В обладнанні рухомого радіотелефонного зв'язку першого покоління використовувалася технологія багатостанційного доступу з частотним поділом каналів (FDMA). Радіотехнологія FDMA дотепер успішно застосовується у вдосконаленому обладнанні стільникового зв'язкупершого покоління, а також у більш простих системах рухомого радіотелефонного зв'язку з не стільникової структурою. Що ж до стандартів рухомого зв'язку першого етапу, то перших радіальних систем поняття стандартів не використовувалося, і устаткування розрізнялося за назвами систем (Алтай, Волемот, Actionet тощо.). Системи стільникового зв'язку почали відрізнятися за стандартами. На технології FDMA базуються такі стандарти систем стільникового зв'язку першого покоління, як NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS.У системах стільникового рухомого зв'язку другого покоління був зроблений перехід до цифрової обробки голосових повідомлень, що передаються, для чого стала використовуватися радіотехнологія багатостанційного доступу з тимчасовим поділом каналів (TDMA). В результаті переходу до TDMA: підвищилася завадостійкість радіотракту, стала кращою його захищеність від прослуховування тощо. TDMA застосовується у системах таких стандартів, як GSM, D-AMPS(Останній в американській версії часто називається просто TDMA). Радіотехнологія багатостанційного доступу з кодовим поділом каналів МДКР, або в англійській версії CDMA, активно почала впроваджуватись на мережах радіотелефонного зв'язку загального користування лише останні п'ять років. Ця радіотехнологія має переваги, т.к. в обладнанні CDMA: - ефективність використання радіочастотного спектру у 20 разів вище порівняно з радіообладнанням стандарту AMPS (технологія FDMA) та у 3 рази – щодо GSM (технологія TDMA); - значно краще, ніж в інших системах 2-го покоління TDMA, якість, надійність та конфіденційність зв'язку; - Є можливість використовувати малогабаритні малопотужні термінали з тривалим терміном роботи; - при однаковій відстані від базової станції потужність випромінювання абонентських терміналів CDMA нижче більш ніж у 5 разів щодо цього ж показника в мережах стандартів, що базуються на інших радіотехнологіях; - Є можливість оптимізації топології мереж при розрахунку зон покриття. Технологія CDMA вперше була реалізована в обладнанні стільникового зв'язку стандарту IS-95. За своїми сервісними можливостями існуючі системи CDMA належать до систем стільникового зв'язку другого покоління. За статистичними даними Національного інституту телекомунікацій (ETRI), кількість абонентів мереж CDMA щодня зростає на 2000 осіб. За темпами зростання кількості абонентів ці мережі перевершують мережі інших існуючих стандартівстільникового зв'язку, випереджаючи розвиток мереж стільникового зв'язку навіть такого популярного стандарту, як GSM. Нині у мережах CDMA налічується щонайменше 30 млн. абонентів. Світова телекомунікаційна спільнота схиляється до того, що в майбутніх системах бездротового доступу абонентських ліній (системах персонального зв'язку третього покоління) CDMA займатиме лідируючу позицію. Такий висновок було зроблено у зв'язку з тим, що технологія CDMA найбільшою мірою здатна забезпечити виконання вимог, що висуваються до обладнання третього покоління IMT-2000, зокрема щодо забезпечення обміну інформацією з високими швидкостями передачі. Однак у майбутніх системах бездротового доступу передбачається використовувати звані широкосмугові системи CDMA, де частотна смуга на канал буде щонайменше 5 МГц (у сучасних системах CDMA другого покоління смуга на канал становить 1,23 МГц). Останні кілька років стали з'являтися кошти бездротового зв'язку, в основу яких покладено технологію розширеного спектру частот із частотними стрибками (FH-CDMA). Ця технологія поєднує специфіку TDMA, де має місце розподіл кожної частоти на кілька часових інтервалів, і CDMA, де кожен передавач використовує певну послідовність шумоподібних сигналів. Ця технологія знайшла своє застосування у системах, призначених для організації фіксованого зв'язку.

ДЕ ШУКАТИ ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Я ХУЙ ЙОГО ЗНАЄ

44. Подання періодичних сигналів у вигляді рядів Фур'є

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Періодичні сигнали та ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступною властивістю:

Тут Т – період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий у гол. I ортонормований базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональне розкладання сигналу цьому базисі, т. е. обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даного сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання за формулою (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, у випадку періодичний сигнал містить залежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, про гармонік з частотами кратними основний частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою та початковою фазою. Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручнішою.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так називається графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладено частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди та початкові фази.

Мал. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а – амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудною діаграмою, яка дозволяє судити про відсотковий зміст тих чи інших гармонік у спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами парної щодо точки t = 0.

У радіотехніці ставлення називають шпаруватістю послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми послідовності, що розглядається, у двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральний склад.

Мал. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів: а - при великій шпаруватості; б - при малій шпаруватості

приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонічним сигналом виду обмеженим лише на рівні (передбачається, що ).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічки, що визначається зі співвідношення звідки

У співвідношенні з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітичний запис імпульсу, що породжує послідовність, що розглядається, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведено на рис. 2.3.

Мал. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Спектральна густина сигналів. Пряме та зворотне перетворення Фур'є.

Часто математичний опис навіть нескладних за структурою та формою детермінованих сигналів є важким завданням. Тому використовують оригінальний прийом, при якому реальні складні сигнали замінюють (подають, апроксимують) набором (зваженою сумою, тобто поруч) математичних моделей, що описуються елементарними функціями. Це дає важливий інструмент аналізу проходження електричних сигналів через електронні ланцюга. Крім того, уявлення сигналу може використовуватися як вихідне при його описі та аналізі. При цьому можна суттєво спростити обернене завдання - синтезскладних сигналів із сукупності елементарних функцій.

Спектральне подання періодичних сигналів рядами Фур'є

Узагальнений ряд Фур'є.

Фундаментальна ідея спектрального представлення сигналів (функцій) походить від часів більш ніж 200-річної давності і належить фізику та математику Ж. Б. Фур'є.

Розглянемо системи елементарних ортогональних функцій, кожна з яких виходить з однієї вихідної функції-прототипу. Ця функція-прототип виконує роль «будівельного блоку», а апроксимація, що шукається, знаходиться відповідним комбінуванням однакових блоків. Фур'є показав, що будь-яку складну функцію можна представити (апроксимувати) у вигляді кінцевої або нескінченної суми ряду кратних гармонійних коливань з певними амплітудами, частотами та початковими фазами. Цією функцією може бути, зокрема, струм або напруга ланцюга. Сонячний промінь, розкладений призмою на спектр кольорів, є фізичним аналогом математичних перетворень Фур'є (рис. 2.7).

Світло, що виходить із призми, розділене у просторі на окремі чисті кольори, або частоти. У спектрі є середня амплітуда кожної частоті. Таким чином, функція інтенсивності від часу трансформувалася на функцію амплітуди в залежності від частоти. Простий приклад ілюстрацій міркувань Фур'є показано на рис. 2.8. Періодична, досить складна формою крива (рис. 2.8, а) -це сума двох гармонік різних, але кратних частот: одинарної (рис. 2.8, б)та подвоєною (рис. 2.8, в).

Мал. 2.7.

Мал. 2.8.

а- Складне коливання; б,в- 1-й та 2-й апроксимуючі сигнали

За допомогою спектрального аналізу Фур'є складна функціяпредставляється сумою гармонік, кожна з яких має свою частоту, амплітуду та почату фазу. Перетворення Фур'є визначає функції, що становлять амплітуду і фазу гармонійних складових, що відповідають конкретній частоті, а фаза - початкова точка синусоїди.

Перетворення можна отримати двома різними математичними методами, один із яких застосовують, коли вихідна функція безперервна, а інший - коли вона задається безліччю окремих дискретних значень.

Якщо досліджувана функція отримана із значень з певними дискретними інтервалами, її можна розбити на послідовний ряд синусоїдальних функцій з дискретними частотами - від найнижчої, основний чи головної частоти, і далі з частотами вдвічі, втричі тощо. вище за основну. Така сума складових і називається поряд Фур'є.

Ортогональні сигнали. Зручним способом спектрального опису сигналу Фур'є є його аналітичне уявлення за допомогою системи ортогональних елементарних функцій часу. Нехай є гільбертовий простір сигналів u 0 (t) yг/,(?), ..., u n (t)з кінцевою енергією, визначених на кінцевому чи нескінченному інтервалі часу (t v 1 2). На цьому відрізку поставимо нескінченну систему (підмножина) взаємопов'язаних елементарних функцій часу та назвемо її базисної".

де г = 1, 2, 3,....

Функції u(t)і v(t)ортогональні на інтервалі (?, ? 2), якщо їх скалярне твір за умови що жодна з цих функцій нс дорівнює тотожному нулю.

У математиці так задають у просторі гільберта сигналів ортогональний координатний базис, тобто. систему ортогональних базових функцій.

Властивість ортогональності функцій (сигналів) пов'язані з інтервалом визначення (рис. 2.9). Наприклад, два гармонійні сигнали м,(?) = = sin(2nr/7' 0) і u.,(t)= sin(4 nt/T Q)(тобто з частотами/ 0 = 1/7' 0 і 2/ 0 відповідно) ортогональні на будь-якому інтервалі часу, тривалість якого дорівнює цілому числу напівперіодів Т 0(рис. 2.9, а).Отже, у першому періоді сигнали та ( (1)і u 2 (t)ортогональні на інтервалі (0, 7" 0 /2); але на інтервалі (О, ЗГ 0 /4) вони неортогональні. Па рис. 2.9, бсигнали ортогональні через різночасність їх появи.

Мал. 2.9.

а- на інтервалі; б -через різночасність появи Подання сигналу u(t)елементарними моделями істотно спрощується, якщо вибрано систему базисних функцій vff),які мають властивість ортонормованості.З математики відомо, якщо для будь-якої пари функцій із ортогональної системи (2.7) виконується умова

то система функцій (2.7) ортонормована.

У математиці таку систему базисних функцій виду (2.7) називають ортонормованим базисом.

Нехай на заданому інтервалі часу | t 2| діє довільний сигнал u(t)і його представлення використовується ортонормована система функцій (2.7). Проектування довільного сигналу u(t)на осі координатного базису називається розкладанням у узагальнений ряд Фур'є.Це розкладання має вигляд

де с - деякі постійні коефіцієнти.

Для визначення коефіцієнтів з доузагальненого ряду Фур'є виберемо одну з базових функцій (2.7) v k (t) здовільним номером до.Помножимо обидві частини розкладання (2.9) на цю функцію та проінтегруємо результат за часом:

Внаслідок ортонормованості базису обраних функцій у правій частині цієї рівності всі члени суми при i ^ дозвернуться в нуль. Ненульовим залишиться лише єдиний член суми з номером i = до,тому

Добуток виду c k v k (t),входить у узагальнений ряд Фур'є (2.9), являє собою спектральну складовусигналу u(t),а сукупність коефіцієнтів (проекцій векторів сигналу на осі координат) (з 0, с,..., з до,..., с„) повністю визначає аналізований сигнал ii(t)і називається його спектром(Від лат. spectrum- Образ).

Суть спектрального уявлення (аналізу) сигналу полягає у визначенні коефіцієнтів з я відповідно до формули (2.19).

Вибір раціональної ортогональної системи координатного базису функцій залежить від мети досліджень та визначається прагненням максимального спрощення математичного апарату аналізу, перетворень та обробки даних. Як базисні функції в даний час використовуються поліноми Чебишева, Ерміта, Лагерра, Лежандра та ін. Найбільшого поширення набуло перетворення сигналів у базисах гармонійних функцій: комплексних експоненційних exp(J 2лft)та речових тригонометричних синусно-косинусних функцій, пов'язаних формулою Ейлера е >х= cosx + y"sinx. Це пояснюється тим, що гармонійне коливання теоретично повністю зберігає свою форму при проходженні через лінійні ланцюги з постійними параметрами, а змінюються при цьому лише його амплітуда та початкова фаза. Також широко використовується добре розроблений теоретично ланцюгів символічний метод. Операцію подання детермінованих сигналів у вигляді сукупності постійної складової ( constant component)і суми гармонійних коливань із кратними частотами прийнято називати спектральним розкладанням.Досить поширене використання теорії сигналів узагальненого ряду Фур'є пов'язано також з його дуже важливою властивістю: при обраній ортонормованій системі функцій v k (t)та фіксованому числі доданків ряду (2.9) він забезпечує найкраще подання заданого сигналу u(t).Ця властивість рядів Фур'є широко відома.

При спектральному поданні сигналів найбільшого застосування отримали ортонормовані базиси тригонометричних функцій. Це зумовлено наступним: гармонійні коливання найпростіше генерувати; гармонійні сигнали інваріантні щодо перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланцюгами.

Оцінимо тимчасове та спектральне уявлення аналогового сигналу(Рис. 2.10). На рис. 2.10, апоказана часова діаграма складного формою безперервного сигналу, але в рис. 2.10, б -його спектральне розкладання.

Розглянемо спектральне уявлення періодичних сигналів як суми чи гармонійних функцій, чи комплексних експонент із частотами, утворюючими арифметичну прогресію.

Періодичнимназивають сигнал і„(?). що повторюється через регулярні інтервали часу (рис. 2.11):

де Г - період повторення або проходження імпульсів; п = 0,1, 2,....

Мал. 2.11. Періодичний сигнал

Якщо Тє періодом сигналу u(t),то періодами будуть і кратні значення: 2Г, 3 Ті т.д. Періодична послідовність імпульсів (їх називають відеоімпульсами) описується виразом

Мал. 2.10.

а- тимчасова діаграма; б- амплітудний спектр

Тут u Q (t)- Форма одиночного імпульсу, що характеризується амплітудою (заввишки) h = Е,тривалістю т„, періодом прямування Т= 1/F(F - частота), положенням імпульсів у часі щодо тактових точок, наприклад t = 0.

При спектральному аналізі періодичних сигналів зручна ортогональна система (2.7) у вигляді гармонійних функцій із кратними частотами:

де зі, = 2п/Т-частота проходження імпульсів.

Обчислюючи інтеграли, за формулою (2.8) легко переконатися в ортогональності цих функцій інтервалі [-Г/2, Г/2|. Будь-яка функція задовольняє умову періодичності (2.11), оскільки їх частоти кратні. Якщо систему (2.12) записати як

то отримаємо ортонормований базис гармонійних функцій.

Представимо періодичний сигнал найбільш поширеної теорії сигналів тригонометричної(синусно-косинусний) формоюряду Фур'є:

З курсу математики відомо, що розкладання (2.11) є, тобто. ряд сходиться, якщо функція (в даному випадку сигнал) u(t)на інтервалі [-7/2, 7/2] задовольняє умовам Діріхле(на відміну від теореми Діріхле їх часто трактують спрощено):

• не повинно бути розривів 2-го роду (з гілками, що йдуть в нескінченність);
• функція обмежена та має кінцеве число розривів 1-го роду (стрибків);
• функція має кінцеве число екстремумів (тобто максимумів та мінімумів).

У формулі (2.13) є такі компоненти аналізованого сигналу:

Постійна складова

Амплітуди косинусоїдальних складових

Амплітуди синусоїдальних складових

Спектральну складову з частотою з теоретично зв'язку називають першою (Основний) гармонікою, а складові з частотами ісо, (П > 1) - вищими гармонікамиперіодичного сигналу. Крок за частотою Асо між двома сусідніми синусоїдами з розкладання Фур'є називають частотною роздільною здатністюспектра.

Якщо сигнал є парною функцією часу u(t) = u(-t), то в тригонометричному записі ряду Фур'є (2.13) відсутні синусоїдальні коефіцієнти Ьп, оскільки відповідно до формули (2.16) вони перетворюються на нуль. Для сигналу u(t),описуваного непарною функцією часу, навпаки, згідно з формулою (2.15) нулю дорівнюють косинусоїдальні коефіцієнти а п(постійна складова а 0також відсутня), і ряд містить складові Ь п.

Межі інтегрування (від -7/2 до 7/2) не обов'язково мають бути такими, як у формулах (2.14)-(2.16). Інтегрування може проводитись за будь-яким інтервалом часу шириною 7 - результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються з міркувань зручності обчислень; наприклад, може бути простіше виконувати інтегрування від Про до 7 або від -7 до 0 і т.д.

Розділ математики, що встановлює співвідношення між функцією часу u(t) та спектральними коефіцієнтами а п, Ь п,називають гармонійним аналізомвнаслідок зв'язку функції u(t)з синусоїдальними та косинусоїдальними членами цієї суми. Далі спектральний аналіз переважно обмежений рамками гармонійного аналізу, що знаходить виняткове застосування.

Часто застосування синусно-косинусної форми ряду Фур'є не зовсім зручне, оскільки для кожного значення індексу підсумовування п(Тобто для кожної гармоніки з частотою mOj) у формулі (2.13) фігурують два доданки - косинус і синус. З математичної точки зору зручніше цю формулу уявити еквівалентним рядом Фур'є в речовій формі/.

де А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь -амплітуда; п-й гармонікисигналу. Іноді у співвідношенні (2.17) перед ср Л ставлять знак «плюс», тоді початкову фазу гармонік записують як ср і = -arctg ( b n fa n).

Теоретично сигналів широко використовують комплексну форму низки Фур'є. Вона виходить з речовинної форми ряду поданням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонентів за формулою Ейлера:

Застосувавши дане перетвореннядо речової форми ряду Фур'є (2.17), отримаємо суми комплексних експонентів з позитивними та негативними показниками:

А тепер трактуватимемо у формулі (2.19) експоненти при частоті зі, зі знаком «мінус» у показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж підходу коефіцієнт А 0стане членом ряду із нульовим номером. Після нескладних перетворень приходимо до комплексній форміряду Фур'є

Комплексна амплітуда п-ї гармоніки.

Значення З пза позитивними та негативними номерами пє комплексно-сполученими.

Зазначимо, що ряд Фур'є (2.20) є ансамблем комплексних експонентів. exp (jn (o (t)) із частотами, що утворюють арифметичну прогресію.

Визначимо зв'язок між коефіцієнтами тригонометричної та комплексної форм ряду Фур'є. Очевидно, що

Можна також показати, що коефіцієнти а п= 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f.

Якщо u(t)є парною функцією, коефіцієнти ряду С, будуть речовими,а якщо u(t) -функція непарна, коефіцієнти ряду стануть уявними.

Спектральне уявлення періодичного сигналу комплексною формою низки Фур'є (2.20) містить як позитивні, і негативні частоти. Але негативні частоти у природі немає, і це математична абстракція (фізичний сенс негативної частоти - обертання у бік, протилежному тому, яке прийнято за позитивне). Вони виникають як наслідок формального уявлення гармонійних коливань комплексною формою. При переході від комплексної форми запису (2.20) до речової (2.17) негативна частота пропадає.

Наочно про спектр сигналу судять за його графічним зображенням - спектральною діаграмою (рис. 2.12). Розрізняють амплітудно-частотніі фазочастотні спектри.Сукупність амплітуд гармонік А п(Рис. 2.12, а)називають амплітудним спектромїх фаз (рис. 2.12, б)ср я - фазовий спектр.Сукупність З п = |З пє комплексним амплітудним спектром(Рис. 2.12, в).На спектральних діаграмах але осі абсцис відкладають поточну частоту, але осі ординат - або речовинну, або комплексну амплітуду або фазу відповідних гармонійних складових аналізованого сигналу.

Мал. 2.12.

а -амплітудний; б -фазовий; в -амплітудний спектр комплексного ряду Фур'є

Спектр періодичного сигналу називають лінійчастимабо дискретним, оскільки він складається з окремих ліній з висотою, що дорівнює амплітуді А пгармонік. З усіх видів спектрів найбільш інформативний амплітудний, оскільки він дозволяє оцінити кількісне зміст тих чи інших гармонік у частотному складі сигналу. Теоретично сигналів доведено, що амплітудний спектр є парна функція частоти, а фазовий - непарна.

Зазначимо еквідистантність(рівновіддаленість від початку координат) комплексного спектру періодичних сигналів: симетричні (позитивні та негативні) частоти, на яких розташовані спектральні коефіцієнти тригонометричного ряду Фур'є, утворюють еквідистантну послідовність (..., -Жо v..., -2со р -з р 0, v 2со, ..., nco v...), що містить частоту = 0 і має крок co t = 2л/7 '. Коефіцієнти можуть набувати будь-яких значень.

Приклад 2.1

Розрахуємо амплітудний та фазовий спектри періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою?, тривалістю т та й періодом повторення Т.Сигнал – функція парна (рис. 2.13).

Мал. 2.13.

Рішення

Відомо, що ідеальний прямокутний відеоімпульс описується наступним рівнянням:

тобто. він формується як різницю двох одиничних функцій а(?) (функцій включення), зрушених у часі на т н.

Послідовність прямокутних імпульсів являє собою відому суму одиночних імпульсів:

Оскільки заданий сигнал є парною функцією часу протягом одного періоду діє лише на інтервалі [т і /2, т і /2], то згідно з формулою (2.14)

де q = Т/т„.

Аналізуючи отриману формулу, можна помітити, що період прямування та тривалість імпульсів входять до неї у вигляді відношення. Цей параметр q -відношення періоду до тривалості імпульсів - називають шпаруватістюперіодичної послідовності імпульсів (у зарубіжній літературі замість шпаруватості використовують зворотну величину - коефіцієнт заповнення, від англ. duty cycle, рівний т і /7); при q = 2 послідовність прямокутних імпульсів, коли тривалості імпульсів та проміжків між ними стають рівними, називають меандром(Від грец. paiav5poq - візерунок, геометричний орнамент).

У силу парності функції, що описує аналізований сигнал, у ряді Фур'є поряд з постійною складовою будуть присутні лише косинусоїдальні складові (2.15):

У правій частині формули (2.22) другий співмножник має вигляд елементарної функції(sinx)/x. У математиці цю функцію позначають як sinc(x), причому лише за значення х= 0 вона дорівнює одиниці (lim (sinx/x) = 1), проходить

через нуль у точках х = ±л, ±2л,... і згасає із зростанням аргументу х (рис. 2.14). Остаточно тригонометричний ряд Фур'є (2.13), який апроксимує заданий сигнал, записують у формі

Мал. 2.14.Графік функції sinx/x

Функція sine має пелюстковий характер. Говорячи про ширину пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальної осі – у номерах гармонік та частотах. Наприклад, на рис. 2.14 градуювання осі ординат відповідає частотам. Ширина пелюсток, виміряна серед гармонік, дорівнює шпаруватості послідовності. Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів - у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними шпаруватості. При шпаруватості імпульсів, що дорівнює трьом, зникає кожна третя гармоніка. Якби шпаруватість дорівнювала б двом, то в спектрі залишилися б лише непарні гармоніки основної частоти.

З формули (2.22) та рис. 2.14 слід, що коефіцієнти низки вищих гармонік сигналу мають негативний знак. Це з тим, що початкова фаза цих гармонік дорівнює п.Тому формулу (2.22) прийнято подавати у зміненому вигляді:

При такому записі ряду Фур'є значення амплітуд всіх вищих гармонійних складових на графік спектральної діаграми позитивні (рис. 2.15, а).

Амплітудний спектр сигналу значною мірою залежить від відношення періоду повторення Ті тривалості імпульсу т і, тобто. від свердловості q.Відстань по частоті між сусідніми гармоніками дорівнює частоті проходження імпульсів з 1 = 2л/Т. Ширина пелюсток спектра, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2я/т зв. обернено пропорційна тривалості імпульсів. Зазначимо, що при одній і тій же тривалості імпульсу зі збільшенням не-

Мал. 2.15.

а- амплітудний;б- фазовий

ріода їх повторення Тосновна частота зменшується і спектр стає щільнішим.

Ту ж картину спостерігають, якщо вкорочують тривалість імпульсу т і при постійному періоді Т.Амплітуди всіх гармонік у своїй зменшуються. Це прояв загального закону (принципу невизначеності В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’,чим коротше тривалість сигналу, тим ширший спектр.

Фази складових визначимо з формули ср п = arctg (b n /a n).Тому що тут коефіцієнти Ь„= 0, то

де m = 0, 1, 2,....

Співвідношення (2.24) показує, що з обчислення фаз спектральних складових маємо справу з математичною невизначеністю. Для її розкриття звернемося до формули (2.22), згідно з якою амплітуди гармонік періодично змінюють знак відповідно до зміни знаку функції sin(nco 1 x 1I /2). Зміна знака у формулі (2.22) еквівалентно зсуву фази цієї функції на п.Отже, коли ця функція позитивна, фаза гармоніки (р і = 2 тп,а коли негативна - = (2т + 1 )до(Рис. 2.15, б). Зауважимо, що хоча амплітуди складових у спектрі прямокутних імпульсів і зменшуються із зростанням частоти (див. рис. 2.15, а),цей спад досить повільний (амплітуди спадають назад пропорційно до частоти). Для передачі таких імпульсів без спотворень потрібна нескінченна смуга частот каналу зв'язку. Для порівняно малопомітних спотворень граничне значення смуги частот має бути набагато більше значення, зворотного тривалості імпульсу. Однак усі реальні канали мають кінцеву смугу пропускання, що призводить до спотворень форми переданих імпульсів.

Ряди Фур'є довільних періодичних сигналів можуть містити нескінченно велика кількістьчленів. При розрахунках спектрів таких сигналів обчислення нескінченної суми ряду Фур'є викликає певні труднощі і не завжди потрібно, тому обмежуються підсумовуванням кінцевої кількості доданків (ряд «усікають»).

Точність апроксимації сигналу залежить від числа складових, що підсумовуються. Розглянемо це з прикладу апроксимації сумою з восьми перших гармонік послідовності прямокутних імпульсів (рис. 2.16). Сигнал має вигляд однополярного меандру з періодом повторення Туамплітудою Е= 1 і тривалістю імпульсів т і = Т/2 (заданий сигнал - функція парна - рис. 2.16, а; свердловість q= 2). Апроксимація показана на рис. 2.16 б, причому на графіках показано число сумованих гармонік. У проведеній апроксимації заданого періодичного сигналу (див. рис. 2.13) тригонометричним рядом (2.13) підсумовування першої та вищих гармонік здійснюватиметься лише за непарними коефіцієнтами Путому що при парних їх значеннях і тривалості імпульсу т і = Т/2 = = тт/с, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) перетворюється на нуль.

Тригонометрична форма ряду Фур'є (2.23) для заданого сигналу має вигляд

Мал. 2.16.

а -заданий сигнал; 6 - проміжні стадії підсумовування

Для зручності подання ряд Фур'є (2.25) можна записати спрощено:

З формули (2.26) очевидно, що гармоніки, що апроксимують меандр, непарні, мають знаки, що чергуються, а їх амплітуди назад пропорційні номерам. Зазначимо, що послідовність прямокутних імпульсів погано підходить для представлення поряд Фур'є - апроксимація містить пульсації та стрибки, а сума будь-якого числа гармонійних складових з будь-якими амплітудами завжди буде безперервною функцією. Тому поведінка низки Фур'є на околицях розривів становить особливий інтерес. З графіків рис. 2.16, б неважко помітити, як із збільшенням числа сумованих гармонік результуюча функція все точніше наближається до форми вихідного сигналу u(t)скрізь, крім точок її розриву. В околиці точок розриву підсумовування ряду Фур'є дає похилий ділянку, причому крутість нахилу результуючої функції зростає зі збільшенням числа сумирних гармонік. У самій точці розриву (позначимо її як t = t 0)ряд Фур'є u(t 0)сходиться до напівсуми правої та лівої меж:

На ділянках, що примикають до розриву апроксимованої кривої, сума ряду дає помітні пульсації, причому на рис. 2.16 видно, що амплітуда основного викиду цих пульсацій не зменшується зі зростанням числа сумованих гармонік - він лише стискається по горизонталі, наближаючись до точки розриву.

При п-? у точках розриву амплітуда викиду залишається постійною,

а його ширина буде нескінченно вузькою. Не змінюються і відносна амплітуда пульсацій (стосовно амплітуди стрибка), і відносне згасання; змінюється лише частота пульсацій, яка визначається частотою останніх сумованих гармонік. Це з збіжністю низки Фур'є. Звернемося до класичного прикладу: чи досягнете ви коли-небудь стіни, якщо з кожним кроком проходитимете половину відстані, що залишилася? Перший крок призведе до позначки половини колії, другий - до позначки на трьох його чвертях, а після п'ятого кроку пройдете вже майже 97% колії. Ви майже дійшли до мети, проте скільки б ви ще кроків уперед не зробили, ніколи не досягнете її в суворому математичному сенсі. Можна лише довести математично, що врешті-решт ви зможете наблизитися на будь-яку задану скільки завгодно малу відстань. Даний доказ буде еквівалентним демонстрації того, що сума чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 і т.д. прагне одиниці. Це явище, властиве всім рядам Фур'є для сигналів із розривами 1-го роду (наприклад, стрибками, як на фронтах прямокутних імпульсів), називають ефектом Гіббса*. При цьому значення першого (найбільшого) викиду амплітуди в кривій, що апроксимується, становить близько 9% рівня стрибка (див. рис. 2.16, п = 4).

Ефект Гіббса призводить до непереборної похибки апроксимації періодичних імпульсних сигналів з розривами 1-го роду. Ефект має місце при різких порушеннях монотонності функцій. На стрибках ефект максимальний, у всіх інших випадках амплітуда пульсацій залежить від характеру порушення монотонності. Для ряду практичних програм ефект Гіббса викликає певні проблеми. Наприклад, у звуковідтворювальних системах це явище називають «дзвоном» або «брязкотом». При цьому кожен різкий приголосний або інший несподіваний звук може супроводжуватися коротким неприємним для слуху звуком.

Ряд Фур'є може бути використаний не тільки для періодичних сигналів, але і для сигналів кінцевої тривалості. При цьому обговорюється час-

ний інтервал, котрій будується ряд Фур'є, а інші моменти часу сигнал вважається рівним нулю. Для розрахунку коефіцієнтів ряду такий підхід означає періодичне продовженнясигналу за межами розглянутого інтервалу.

Зазначимо, як і природа (наприклад, слух людини) використовує принцип гармонійного аналізу сигналів. Віртуальне перетворення Фур'є людина робить щоразу, коли чує звук: вухо автоматично виконує це, представляючи звук як спектра послідовних значень гучності для тонів різної висоти. Мозок людини перетворює цю інформацію на звук, що сприймається.

Гармонійний синтез. Теоретично сигналів поруч із гармонійним аналізом сигналів широко використовують гармонійний синтез- Отримання заданих коливань складної форми шляхом підсумовування ряду гармонійних складових їх спектру. По суті, вище було проведено синтез періодичної послідовності прямокутних імпульсів сумою з ряду гармонік. Насправді ці операції виконують на комп'ютері, як це показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батіст Жозеф Фур'є (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французький математик та фізик.
• Джозайя Гіббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американський фізик та математик, один із основоположників хімічної термодинаміки та статистичної фізики.

Цифрові фільтри (Лекція)

За видом імпульсної характеристики цифрові фільтри поділяються на два великі класи:

· Фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ – фільтри, трансверсальні фільтри, нерекурсивні фільтри). Знаменник передавальної функції таких фільтрів – якась константа.

КІХ - фільтри характеризуються виразом:

· Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою (БІХ - фільтри, рекурсивні фільтри) використовують один або більше своїх виходів як вход, тобто утворюють Зворотній зв'язок. Основною властивістю таких фільтрів є те, що їхня імпульсна перехідна характеристика має нескінченну довжину в часовій області, а передатна функція має дробово-раціональний вигляд.

БІХ - фільтри характеризуються виразом:

Відмінність КІХ - фільтрів від БІХ - фільтрів полягає в тому, що у КІХ - фільтрів вихідна реакція залежить від вхідних сигналів, а у БІХ - фільтрів вихідна реакція залежить від поточного значення.

Імпульсна характеристика- Це реакція схеми на одиничний сигнал.

Единичний сигнал

Таким чином, одиничний сигнал лише в одній точці дорівнює одиниці – у точці початку координат.

Затриманий единичний сигналвизначається так:

Таким чином, затриманий поодинокий сигнал затримує на k періодів дискретизації.

Сигнали та спектри

Дуальність (подвійність) уявлення сигналів.

Усі сигнали можна подати у часовій чи частотній площині.

Причому частотних площин – кілька.

Тимчасова поверхня.

Перетворення.

Частотна поверхня.

Для перегляду сигналу у часовій площині існує прилад:

Припустимо, що тут є досить довгий синусоїдальний сигнал (в 1 сек. 1000 разів повторилася синусоїда):

Візьмемо сигнал із частотою, вдвічі більше:

Складемо ці сигнали. Отримаємо не синусоїду, а спотворений сигнал:

Перетворення з тимчасової площини частотну площину проводяться за допомогою перетворень Фур'є.

Для перегляду сигналу частотної площині існує прилад:

Частота циклічна або кругова ( f).

Частотна площина покаже засічку:

Величина засічки пропорційна амплітуді синусоїди, а частота:

Для другого сигналу частотна область покаже інше засічення:

У часовій області сумарного сигналу з'явиться 2 засічки:

Обидва уявлення сигналу рівноцінні і користуються або першим, або іншим уявленням, залежно від цього, який зручніше.

Перетворення з тимчасової площини частотну площину може здійснюватися різними шляхами. Наприклад: за допомогою перетворень Лапласа або за допомогою перетворень Фур'є.

Три форми запису рядів Фур'є.

Існує три форми запису рядів Фур'є:

· Синус – косинусна форма.

· Речова форма.

· Комплексна форма.

1.) У синус – косинусній формі ряд Фур'є має вигляд:

Вхідні до формули кратні частоти kω 1 називаються гармоніками; гармоніки нумеруються відповідно до індексу k; частота ωk =kω 1називається k-й гармонікою сигналу.

Цей вислів говорить про наступне: будь-яку періодичну функцію можна подати у вигляді суми гармонік, де:

T- Період повторень цієї функції;

ω - Кругова частота.

, де

t- поточний час;

T- Період.

При розкладанні Фур'є найголовніше – це періодичність. За рахунок неї відбувається дискретизація за частотою, починається кілька гармонік.

Для того, щоб встановити можливість тригонометричного розкладання для заданої періодичної функції, потрібно виходити з певного набору коефіцієнтів. Прийом їх визначення придумав у другій половині XVIII століття Ейлер і незалежно від нього на початку XIX століття - Фур'є.

Три формули Ейлера для визначення коефіцієнтів:

; ;

Формули Ейлера не потребують жодних доказів. Ці формули точні за нескінченної кількості гармонік. Ряд Фур'є – усічений ряд, тому що немає нескінченної кількості гармонік. p align="justify"> Коефіцієнт зрізаного ряду обчислюється за тими ж формулами, що і для повного ряду. У цьому випадку середня квадратична помилка – мінімальна.

Потужність гармонік падає зі збільшенням їхнього номера. Якщо додати/відкинути деякі гармонійні складові, перерахунок інших членів (інших гармонік) не потрібно.

Практично всі функції є парними чи непарними:

ЧЕТНА ФУНКЦІЯ

НЕЧІТНА ФУНКЦІЯ

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Cos:

у якої: t = −t

Парна функція симетрична щодо

осі ординат.

Якщо функція парна, всі синусні коефіцієнти bk косинуснідоданки.

Характеризується рівнянням:

Наприклад, функція Sin:

Непарна функція симетрична щодо центру.

Якщо функція непарна, то всі косинусні коефіцієнти akбудуть рівні нулю і у формулі ряду Фур'є будуть присутні тільки синуснідоданки.

2.) Речова форма записи ряду Фур'є.

Певна незручність синусно-косинусної форми ряду Фур'є полягає в тому, що для кожного значення індексу підсумовування k(тобто для кожної гармоніки з частотою kω 1) у формулі фігурує два доданки - синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:

, де

;

Якщо S(t) є парною функцією, фази φ можуть приймати тільки значення 0 та π , а якщо S(t) - функція непарна, то можливі значення для фази φ рівні + π /2.

Якщо bk= 0, тоді tg φ = 0 та кут φ = 0

Якщо ak= 0, тоді tg φ - Безкінечний і кут φ =

У цій формулі може бути і мінус (дивлячись який напрямок взято).

3.) Комплексна форма записи ряду Фур'є.

Дана форма уявлення ряду Фур'є є, мабуть, найбільш вживаною в радіотехніці. Вона виходить з речової форми поданням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонентів (таке уявлення випливає з формули Ейлера ejθ = Cosθ + jSinθ):

Застосувавши це перетворення до речовинної форми ряду Фур'є, отримаємо суми комплексних експонентів з позитивними та негативними показниками:

А тепер трактуватимемо експоненти зі знаком «мінус» у показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійний доданок a 0/2 стане членом ряду із нульовим номером. В результаті вийде комплексна форма запису ряду Фур'є:

Формула розрахунку коефіцієнтів Ckряду Фур'є:

Якщо S(t) є парноїфункцією, коефіцієнти ряду Ckбудуть чисто речовими, а якщо S(t) - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться чисто уявними.

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є часто називають амплітудним спектром, А сукупність їх фаз - фазовим спектром.

Спектром амплітуд є дійсна частина коефіцієнтів Ckряду Фур'є:

Re ( Ck) - Спектр амплітуд.

Спектр прямокутних сигналів.

Розглянемо сигнал у вигляді послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою A, тривалістю τ та періодом повторення T. Початок відліку часу приймемо розташованим у середині імпульсу.

Даний сигнал є парною функцією, тому для його подання зручніше використовувати синусно-косинусну форму ряду Фур'є – в ній будуть присутні лише косинусні доданки ak, рівні:

З формули видно, що тривалість імпульсів і період їхнього прямування входять до неї не відокремлено, а виключно у вигляді відношення. Цей параметр – відношення періоду до тривалості імпульсів – називають шпаруватістюпослідовності імпульсів і позначають літерою: g: g = T/?. Введемо цей параметр отриману формулу для коефіцієнтів ряду Фур'є, а потім наведемо формулу до виду Sin(x)/x:

Примітка: У зарубіжній літературі замість шпаруватості використовується зворотна величина, яка називається коефіцієнтом заповнення (duty cycle) і дорівнює τ / T.

При такій формі запису стає добре видно, чому дорівнює значення постійного складеного ряду: оскільки при x→ 0 Sin( x)/x→1, то

Тепер можна записати і саме уявлення послідовності прямокутних імпульсів у вигляді ряду Фур'є:

Амплітуди гармонійних складових ряду залежать від номера гармоніки за законом Sin( x)/x.

Графік функції Sin( x)/xмає пелюстковий характер. Говорячи про ширину цих пелюсток, слід наголосити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальної осі – у номерах гармонік та в частотах.

На малюнку градуювання осі відповідає номерам гармонік, а частотні параметри спектра нанесені графік за допомогою розмірних ліній.

Отже, ширина пелюсток, виміряна в кількості гармонік, дорівнює шпаруватості послідовності (при k = ngмаємо Sin (π k/g) = 0, якщо n≠ 0). Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів – у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними шпаруватості.

Відстань по частоті між сусідніми гармоніками дорівнює частоті проходження імпульсів - 2 π /T. Ширина пелюсток спектру, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2 π /τ , тобто обернено пропорційна тривалості імпульсів. Це прояв загального закону – чим коротший сигнал, тим ширший спектр.

Висновок : для будь-якого сигналу відомі його розкладання в ряд Фур'є Знаючи τ і Tможемо порахувати скільки гармонік потрібно, щоб передати потужність.

Методи аналізу лінійних систем із постійними коефіцієнтами.

Завдання у постановці:

Є лінійна система (не залежить від амплітуди сигналу):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0; визначаємо порти введення.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1; визначаємо порти виведення.

ORG P: 0; організація P-пам'яті.

RESET: JMP START; безперечний перехід на мітку START.

P:100; програма почнеться з сотого осередку.

START: MOVE BUF_X, R0; початкову адресу X вводимо R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0; перех. до мод. ариф.(зап. число на 1мен., чим поряд. цього буф.)

MOVE# COEFFS, R4; організація цикл. буфера для коефіц. у Y-пам'яті.

MOVE# M0, M4; т. к.довжина повинна збігатися, то перес. з M0 до M4.

CLRA; обнулили акумулятор.

REP# ORDFIL ; повторити ланцюжкову операцію.

MOVE A, X: (R4) +; викон. автоінкремент та всі комірки буф. обнуляємо.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X - (R0); побайт. пересилання показань (останн. розумн. b0).

REP# ORDFIL─1; повт. ланцюжкову операцію(39раз розумн. без округлення)

MAC X0, Y0, X: (R0) +, X0 Y: (R4) +, Y0; X0наY0, рез. в ак; підг. сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; побайтове пересилання утрим. акумулятора.

JMP LOOP; безперечний перехід на мітку LOOP.

Порядок проектування цифрових фільтрів

Порядок проектування цифрових фільтрів передусім пов'язані з типом фільтра лінії частотних характеристик. Однією з часто виникають практично завдань є створення фільтрів, пропускають сигнали у певній смузі частот і затримують інші частоти. Є чотири типи:

1.) Фільтри нижніх частот (ФНЧ; англійський термін – low-pass filter), що пропускають частоти, менші за деяку частоту зрізу ω 0.

2.) Фільтри верхніх частот (ФВЧ; англійський термін – high-pass filter), що пропускають частоти, великі деякої частоти зрізу ω 0.

3.) Смужні фільтри (ПФ; англійський термін – band-pass filter), що пропускають частоти в деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони можуть також характеризуватись середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Режекторні фільтри (інші можливі назви – фільтр, що загороджує, фільтр-пробка, полосно-затримуючий фільтр; англійський термін – band-stop filter), що пропускають на вихід Усечастоти, крімщо лежать у деякому діапазоні ω 1…. ω 2 (вони також можуть характеризуватись середньою частотою ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 та шириною смуги пропускання Δ ω = ω 2 – ω 1).

Ідеальна форма АЧХ фільтрів цих чотирьох типів:

Однак така ідеальна (прямокутна) форма АЧХ не може бути фізично реалізована. Тому в теорії аналогових фільтрів розроблено низку методів апроксимаціїпрямокутних АЧХ.

Крім того, розрахувавши ФНЧ, можна нескладними перетвореннями змінити його частоту зрізу, перетворити його на ФВЧ, смуговий або режекторний фільтр із заданими параметрами. Тому розрахунок аналогового фільтра починається з розрахунку так званого фільтра-прототипу, що є ФНЧ з частотою зрізу, що дорівнює 1 рад/с.

1.) Фільтр Баттерворта:

Функція передачі фільтра-прототипу Баттерворта (Butterworth filter) немає нулів, та її полюси рівномірно розташовані на s-площини в лівій половині кола одиничного радіусу.

Для фільтра Баттерворта частота зрізу визначається за рівнем 1/. Фільтр Баттерворта забезпечує максимально плоскувершину у смузі пропускання.

2.) Фільтр Чебишева першого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева першого роду (Chebyshev type I filter) також немає нулів, та її полюси розташовані в лівій половині еліпса на s-площини. Для фільтра Чебишева першого роду частота зрізу визначається за рівнем пульсацій у смузі пропускання.

Порівняно з фільтром Баттерворта того ж порядку, фільтр Чебишева забезпечує крутіший спад АЧХ в області переходу від смуги пропускання до смуги затримування.

3.) Фільтр Чебишева другого роду:

Функція передачі фільтра Чебишева другого роду (Chebyshev type II filter), на відміну попередніх випадків, має і нулі, і полюси. Фільтри Чебишева другого роду називають інверсними фільтрами Чебишева (inverse Chebyshev filter). Частотою зрізу фільтра Чебишева другого роду вважається не кінець смуги пропускання, а початок смуги затримування. Коефіцієнт передачі фільтра на нульовій частоті дорівнює 1, на частоті зрізу - заданого рівня пульсацій у смузі затримування. При ω → ∞ коефіцієнт передачі дорівнює нулю при непарному порядку фільтра та рівню пульсацій – при парному. При ω = 0 АЧХ фільтра Чебишева другого роду є максимально плоскою.

4.) Еліптичні фільтри:

Еліптичні фільтри (фільтри Кауера; англійські терміни – elliptic filter, Cauer filter) у певному сенсі поєднують у собі властивості фільтрів Чебишева першого та другого роду, оскільки АЧХ еліптичного фільтра має пульсації заданої величини, як у смузі пропускання, так і у смузі затримування. За рахунок цього вдається забезпечити максимально можливу (при фіксованому порядку фільтра) крутість ската АЧХ, тобто перехідної зони між смугами пропускання та затримання.

Функція передачі еліптичного фільтра має як полюси, і нулі. Нулі, як і у разі фільтра Чебишева другого роду, є чисто уявними і утворюють комплексно-сполучені пари. Кількість нулів функції передачі дорівнює максимальному парному числу, що не перевищує порядку фільтра.

Функції MATLAB для розрахунку фільтрів Баттерворта, Чебишева першого та другого роду, а також еліптичних фільтрів дозволяють розраховувати як аналогові, так і дискретні фільтри. Функції розрахунку фільтрів вимагають завдання як вхідні параметри порядку фільтра та його частоти зрізу.

Порядок фільтру залежить:

від допустимої нерівномірності у смузі пропускання від величини зони невизначеності. (Чим менше зона невизначеності, тим крутіше спад частотної характеристики).

Для КІХ-фільтрів порядок становить кілька десятків чи сотень, а БІХ-фільтрів порядок вбирається у кілька одиниць.

Піктограми дають змогу переглянути всі коефіцієнти. Проектування фільтра проводиться на одному вікні.

Курсова робота з математичного аналізу

Тема: Підрахунок часткових сум та спектральних характеристик ряду Фур'є для явної функції

сигнал спектр фур'є функція

1.Модель фізичного процесу

Розв'язання задачі з теоретичними викладками

Приклад розв'язання задачі

Приклад розв'язання задачі в середовищі Matlab R2009a

Список літератури

1.Модель фізичного процесу

Математичною моделлю радіотехнічного сигналу може бути деяка функція часу f(t) . Ця функція може бути речовою або комплексною, одновимірною або багатовимірною, детермінованою або випадковою (сигнали з перешкодами). У радіотехніці та сама математична модель з рівним успіхом описує струм, напруга, напруженість електричного поля тощо.

Розглянемо речові одновимірні детерміновані сигнали

Багато функцій (сигналів) прийнято розглядати як лінійні функціональні нормовані простори, в яких введені такі поняття та аксіоми:

) виконані всі аксіоми лінійного простору;

) скалярний добуток двох дійсних сигналів визначається наступним чином:

) два сигнали називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю;

) система ортогональних сигналів утворює нескінченномірний координатний базис, яким можна розкласти будь-який періодичний сигнал, що належить лінійному простору;

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, за якими можна розкласти сигнал, найбільш поширеною є система гармонійних (синусоїдальних та косинусоїдальних) функцій:

Подання деякого періодичного сигналу як суми гармонійних коливань з різними частотами називається спектральним поданням сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють спектр. З математичної точки зору спектральне подання еквівалентне розкладанню періодичної функції(сигналу) до ряду Фур'є.

Значення спектрального розкладання функцій у радіотехніці обумовлено низкою причин:

) простота вивчення властивостей сигналу, т.к. гармонійні функції добре вивчені;

) можливість генерування довільного сигналу, т.к. техніка генерування гармонійних сигналів досить проста;

) простота передачі та прийому сигналу по радіоканалу, т.к. гармонійне коливання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму під час проходження через будь-який лінійний ланцюг. Сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним із тією ж частотою, змінюється лише амплітуда та початкова фаза коливання;

) розкладання сигналу за синусами і косинусами дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.

Як модель фізичного процесу розглянемо електрокардіограму роботи серця.

2.Рішення задачі з теоретичними викладками

Завдання 1:

Опишемо за допомогою рядів Фур'є, імпульс, що періодично повторюється, на ділянці електрокардіограми, так званий комплекс QRS.

Комплекс QRS можна встановити наступною кусково-лінійною функцією

Де

Цю функцію можна продовжити періодично з періодом T=2l.

Ряд Фур'є функції:

Визначення 1:Функція називається шматково-безперервнийна відрізку [а,b], якщо вона безперервна у всіх точках цього відрізка, крім кінцевого числа точок, у яких існують її кінцеві односторонні межі.

Визначення 2:Функція називається шматково-гладкоюна деякому відрізку, якщо вона сама та її похідна шматково-безперервні.

Теорема 1 (Ознака Діріхле): Ряд Фур'є шматково-гладкої на відрізку функції f(x) сходиться в кожній точці безперервності до значення функції в даній точці і значення в кожній точці розриву.

Наша функція відповідає умовам теореми.

Для заданої функціїотримуємо наступні коефіцієнти ряду Фур'є:

Комплексна форма ряду Фур'є

Для представлення ряду у комплексній формі скористаємося формулами Ейлера:

Введемо позначення:

Тоді ряд можна переписати у вигляді

Крім того, коефіцієнти комплексного ряду Фур'є можна отримати і безпосередньо, обчислюючи їх за формулою.

Запишемо у комплексній формі ряд Фур'є заданої функції

Спектральні характеристики ряду

Вираз у ряді Фур'є називається n-й гармонікою.Відомо що

де чи

,

Сукупності , називається відповідно амплітудним та фазовим спектромперіодичної функції.

Графічно спектри зображуються у вигляді відрізків довжини , проведених перпендикулярно до осі, на яку наноситься значення n= 1,2 … чи .

Графічне зображеннявідповідного спектра називається амплітудною або фазовою діаграмою. Насправді найчастіше застосовують амплітудний спектр.

.Приклад розв'язання задачі

Завдання 2: Розглянемо конкретний прикладЗавдання для обраної моделі фізичного процесу.

Продовжимо цю функцію на всю числову вісь, отримаємо періодичну функцію f(x) з періодом T=2 l= 18 (Рис. 1.).

Мал. 1. Графік періодично продовженої функції

Обчислимо коефіцієнти Фур'є заданої функції.

Запишемо часткові суми ряду:

Мал. 2. Графіки часткових сум низки Фур'є

Зі зростанням nграфіки часткових сум у точках безперервності наближаються до графіка функції f(x) . У точках розриву значення часткових сум наближаються до .

Побудуємо амплітудну та фазову діаграми.

з урахуванням чверті.

Таблиця

4. Приклад вирішення задачі в середовищі Matlab R2009a

Завдання 3:Як приклад розглянемо повністю інтервали PR та QT.

Мал

Для даної функції побудувати графіки часткових сум, а також амплітудну та фазову діаграми.

Візьмемо конкретні значення параметрів нашого завдання:

Скрипт для побудови потрібних графіків та діаграм.

Скрипт дозволяє вирішувати ряд подібних завдань шляхом вибору параметрів та координат точок Q, R, S.

%ПІДРАХУНОК ЧАСТИНИХ СУМ І СПЕКТРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДУ ФУР'Є ДЛЯ ЯВНОЇ

% Спектральний аналіз. I2 = 10; Q=11; Qy = -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;flag == 0=1;(k<15)

k = menu("Зміна параметрів", ...

sprintf ("Параметр1 P = %g", P),...(" Параметр2 I1 = %g", I1),...(" Параметр3 I2 = %g", I2),...(" Параметр4 Qx = %g", Q),...(" Параметр5 Qy = %g", Qy),...(" Параметр6 Rx = %g", R),...(" Параметр7 Ry = %g", Ry),...(" Параметр8 Sx = %g", S),...(" Параметр9 Sy = %g", Sy),...(" Параметр10 I3 = %g", I3). .(" Параметр11 I4= %g", I4),...(" Параметр12 T = %g", T),...(" Параметр13 I5 = %g", I5),...(" Параметр13 Ns = % g ", Ns),...

" Продовжити " );k==1,= input();

endk==2,= input();

endk==3,= input();

endk==4,= input();

endk==5,= input();

endk==6,= input();

endk==7,= input();

"Нове значення Sx="]);

endk==9,= input();

endk==10,= input();

endk==11,= input();

endk==12,= input();

endk==13,= input()

endk==14,= input()

% Застосування параметрів = Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=length(t );=zeros(1,Dim);=floor(I1*N/2/L)+1;=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;=floor((Q-I2) *N/2/L)+1;=floor((R-Q)*N/2/L)+1;= floor((S-R)*N/2/L)+1;= floor((I3-S) *N/2/L)+1;= floor((I4-I3)*N/2/L)+1;= floor((I5-I4)*N/2/L)+1;= floor(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d; +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1) ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4+u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title("Графік процесу"); xlabel("Час (с)"); ylabel("Y(t)");

%Графік часткової сумиn

n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1); 2=a0+quad(@f, I1, I2); );4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S);6=a0+quad(@f, S, I3);7=a0+quad( @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@ f, I4, I5); ;=zeros(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0 , I1); 2(i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q); );(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S); quad(@g, R, S); 6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3); (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@ g, I3, I4); @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@ g, I4, I5); i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=zeros(1, length (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; *x/L);

title("Графік сигналу та часткової суми"); xlabel("Час (с)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

% Побудова амплітудної діаграми = zeros (1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Амплітудна діаграма сигналу"); xlabel("n"); ylabel("An");

% Побудова фазової діаграми сигналу = zeros (1, Ns);

for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i))<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i))<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, продовжити - ");

переліклітератури

1. Фіхтенгольц, Г.М. Курс диференціального та інтегрального обчислення: 3 т., М., 1997. 3 т.

Воднєв, Ст Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основні математичні формули. Мінськ, 1998

Харкевич, А.А, Спектри та аналіз. Москва, 1958

Лазарєв, Ю. Ф., Початки програмування серед MatLAB. Київ 2003.

Демидович, Б.П. Збірник завдань та вправ з математичного аналізу, М., 1988.