Основні функції комплексного змінного. Елементарні функції комплексного змінного дробово-раціональні функції статечна функція показова функція логарифмічна функція тригонометричні та гіперболічні функції. Поняття функції комплексної

Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.

Ця стаття відкриває серію уроків, де я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної. Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базові знання про комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також знадобляться навички знаходження приватних похідних другого порядку. Ось вони якісь, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…

Тема, яку ми починаємо розбирати, не становить особливих складнощів, і в функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло та доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку освіжимо знання про шкільну функцію однієї змінної:

Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне значення функції. Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.

У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.

Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.

Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:

Приклад 1

Рішення:Незалежна змінна «зет», як пам'ятаєте, записується як , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.

Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).

Приклад 2

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутися в бій на комплексній площині, дозвольте дати найважливішу пораду на тему:

БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.

У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .

Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А з'ясовувати, як чує ваше серце, пов'язане з додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:

1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: .

2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Приклад 3

Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:

1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:

Оскільки , то:

Таким чином:

- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А гадаю – так: .

2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані, .

Існують ще два способи знаходження похідної, вони, звичайно, застосовуються рідше, але інформація буде корисною для розуміння другого уроку – Як знайти функцію комплексної змінної?

Похідну можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Таким чином

Потрібно вирішити зворотне завдання - в отриманому виразі потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:

Зворотне дію виконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме

Дзеркальна формула для знаходження похідної:

В даному випадку: тому:

Приклад 4

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.

Коротке рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичні прикладия не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.

Ускладнимо наші функції:

Приклад 5

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити

Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула вже виведена:

Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:

Увага та ще раз увага!

Оскільки , то:


Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Перевірка другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:

Обчислимо значення похідної у потрібній точці:

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,

Функції з кубами часто зустрічаються, тому приклад для закріплення:

Приклад 6

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.

Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Теоретично комплексного аналізу визначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решебник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.

Спочатку про так звані формулах Ейлера:

Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули:

Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.

Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадок з мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складне вираження, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:

Приклад 7

Знайти похідну.

Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення і нижче закоментую кожен крок:

Оскільки , то:

(1) Підставляємо замість "зет".

(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.

(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницю за дужки.

(4) Використовуємо шкільну дію зі ступенями.

(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.

(6) Розкриваємо дужки, в результаті:

- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Подальші дії стандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Приклад 9

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, знаходити не станемо.

Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моменти, тому початковий етап знову закоментую покроково:

Оскільки , то:

1) Підставляємо замість "зет".

(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину усередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.

(3) Використовуємо формулу, при цьому .

(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса: . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.

В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстрації отриманий результат можна переписати так:

Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Умови Коші-Рімана виконані.

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.

З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:

Приклад 10

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як із очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Горіхокол наприкінці уроку.

Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий прикладколи комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…

Приклад 11

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то

Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?

Все нехитро - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираз, він уже застосовувався у прикладах уроку Комплексні числа для чайників. Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на:

Лінійною функцією комплексного змінного z називається функція виду де а і 6 - задані комплексні числа, причому а Ф 0. Лінійна функція визначена для всіх значень незалежного змінного г, однозначна і тому, що зворотна функція також однозначна, однолистная у всій площині z. Лінійна функція аналітична у всій комплексній площині, і її похідна тому здійснюване відображення конформно у всій площині. Дробно-лінійною функцією називається функція виду - задані комплексні числа, причому Дробно-лінійна функція визначена для всіх значень незалежного змінного zy крім z = -|, однозначна і, тому що зворотна функція Елементарні функції комплексного змінного функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції однозначна, однолистна у всій комплексній площині, за винятком точки z = - У цій галузі функція (3)аналітична та її похідна тому здійснюване нею відображення конформно. Довизначимо функцію (3) у точці z = - \, поклавши £) = оо, а нескінченно віддаленій точці w = оо поставимо у відповідність точку z(oo) = Тоді дробово-лінійна функція буде однолистою в розширеній комплексній площині z. Приклад 1. Розглянемо дробово-лінійну функцію З рівності випливає, що модулі комплексних чисел г і і зв'язані співвідношенням а самі ці числа розташовуються на променях, що виходять з точки Про і симетричних щодо дійсної осі. Зокрема, точки одиничного кола |z| = 1 переходять у точки одиничного кола Ы = 1. У цьому комплексному числу ставиться у відповідність сполучене число (рис. 11). Зауважимо також, що функція го = -g відображає нескінченно віддалену точку г - оо в нульову го - 0. 2.2. Ступінна функція Ступінна функція де п - натуральне число, аналітична у всій комплексній площині; її похідна = nzn~] при п > 1 відмінна від нуля у всіх точках, крім z = 0. Записуючи у формулі (4) w і z у показовій формі отримуємо, що формули (5) видно, що комплексні числа Z\ і z2 такі, що де k - ціле переходять в одну точку w. Значить, якщо n > 1 відображення (4) не є однолистим на площині z. Найпростішим прикладом області, в якій відображення гі = zn однолистно, є сектор де а - будь-яке дійсне число. В області (7) відображення (4) є конформним. - багатозначна, тому що для кожного комплексного числа z = ге1в Ф 0 можна вказати п різних комплексних чисел, таких, що їх n-й ступіньдорівнює z: Зазначимо, що багаточлен ступеня п комплексного змінного z називається функція де задані комплексні числа, причому ао Ф 0. Багаточлен будь-якого ступеня є аналітичною функцією на всій комплексній площині. 2.3. Дробно-раціональна функція Дробно-раціональна функція називається функція виду де) - багаточлени комплексного змінного z. Дробно-раціональна функція аналітична у всій площині, крім тих точок, у яких знаменник Q(z) перетворюється на нуль. Приклад 3. Функція Жуковського__ аналітична у всій площині г, за винятком точки г = 0. З'ясуємо умови на область комплексної площини, при яких функція Жуковського, що розглядається в цій галузі, буде однолистою. М Нехай точки Z) та zj функція (8) переводить в одну точку. Тоді при ми отримуємо, що значить, для однолистості функції Жуковського необхідне і виконання умови Прикладом області, що задовольняє умові однолистості (9), є зовнішність кола |z| > 1. Так як похідна функції Жуковського Елементарні функції комплексного змінного Дробно-раціональні функції Ступінна функція Показова функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції відмінна від нуля усюди, крім точок, то відображення області здійснюване цією функцією, буде конформним. Зауважимо, що начинка одиничного кола |I також є областю однолистості функції Жуковського. Мал. 13 2.4. Показова функція Показову функцію ez визначимо для будь-якого комплексного числа z = х + гу наступним співвідношенням: При х = 0 отримуємо формулу Ейлера: Опишемо основні властивості показової функції: 1. Для дійсних z дане визначення збігається із звичайним. У цьому можна переконатися безпосередньо, поклавши у формулі (10) у = 0. 2. Функція ez аналітична на всій комплексній площині, і для неї зберігається нормальна формула диференціювання 3. Для функції ег зберігається теорема складання. Покладемо 4. Функція ez - періодична з уявним основним періодом 2xi. Справді, для будь-якого цілого до З іншого боку, якщо з визначення (10) випливає, що Звідки слід, що, або де п - ціле. Смуга не містить жодної пари точок, пов'язаних співвідношенням (12), тому з проведеного дослідження випливає, що відображення w = е" однолистно в смузі (рис. 14). А як похідна, то це відображення конформно. г.г однолистная в будь-якій смузі 2.5. Логарифмічна функція З рівняння де задано, невідоме, отримуємо Звідси. Позначають через Тоді для Ln z виходить формула 2.6. .Перелічимо основні з них. 2) аналітичні на всій комплексній площині; 3) підпорядковуються стандартним формулам диференціювання: 4) періодичні з періодом 2тг; 5) sin z – непарна функція, a cos z – парна; 6) зберігаються звичайні тригонометричні співвідношення. Усі перелічені властивості легко виходять із формул (15). Функції tgz і ctgz в комплексній області визначаються формулами а гіперболічні функції - формулами Гіперболічні функції тісно пов'язані з тригонометричними функціями. Цей зв'язок виражається такими рівностями: Синус і косинус комплексного аргументу мають ще одну важливу властивість: на комплексній площині | Значення Покажемо це. Користуючись властивостями 6 і формулами (18) отримуємо, що Елементарні функції комплексного змінного Дробно-раціональні функції Поступова функція Логарифмічна функція Тригонометричні та гіперболічні функції Звідки Вважаємо, що маємо Приклад 4. ,

11 Основні функції комплексної змінної

Нагадаємо визначення комплексної експоненти – . Тоді

Розкладання до ряду Маклорена. Радіус збіжності цього ряду дорівнює +∞, отже, комплексна експонента аналітична на всій комплексній площині і

(exp z) "=exp z; exp 0 = 1. (2)

Перша рівність тут випливає, наприклад, з теореми про почленное диференціювання статечного ряду.

11.1 Тригонометричні та гіперболічні функції

Синусом комплексного змінногоназивається функція

Косинус комплексного змінногоє функція

Гіперболічний синус комплексного змінноговизначається так:

Гіперболічний косинус комплексного змінного- це функція

Відзначимо деякі властивості нововведених функцій.

A.Якщо x∈ ℝ cos cos, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

Б.Має місце наступний зв'язок тригонометричних та гіперболічних функцій:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

В. Основні тригонометричні та гіперболічні тотожності:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Доказ основної гіперболічної тотожності.

Основне тригонометричне тотожність випливає з оновленого гіперболічного тотожності при обліку зв'язку тригонометричних та гіперболічних функцій (див. властивість Б)

Г Формули додавання:

Зокрема,

Д.Для обчислення похідних тригонометричних та гіперболічних функцій слід застосувати теорему про почленное диференціювання статечного ряду. Отримаємо:

(cos z) "=-sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

е.Функції cos z, ch z парні, а функції sin z, sh z непарні.

Ж. (Періодичність)Функція e z періодична з періодом 2π i. Функції cos z, sin z періодичні з періодом 2π, а функції ch z, sh z періодичні з періодом 2πi. Більш того,

Застосовуючи формули суми, отримуємо

З. Розкладання на дійсну та уявну частини:

Якщо однозначна аналітична функція f(z) відображає дію дію ділянку D на область G, то D називається областю однолистості.

І.Область D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доведення. Зі співвідношення (5) випливає ін'єктивність відображення exp:D k → ℂ . Нехай w - будь-яке ненульове комплексне число. Тоді, розв'язуючи рівняння e x = | w | та e iy =w/|w| з дійсними змінними x та y (y вибираємо з напівінтервалу)