Графічне уявлення ряду фур'є спектр. Подання періодичної функції як низки фурье. Дискретні сигнали та дискретне перетворення Фур'є

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, які можуть використовуватися як базиси для представлення радіотехнічних сигналів, виняткове місце займають гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) функції. Значення гармонійних сигналів для радіотехніки обумовлено низкою причин.

Зокрема:

1. Гармонічні сигнали інваріантні щодо перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланцюгами. Якщо такий ланцюг збуджений джерелом гармонійних коливань, то сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним з тією самою частотою, відрізняючись від вхідного сигналулише амплітудою та початковою фазою.

2. Техніка генерування гармонійних сигналів щодо проста.

Якщо який-небудь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладання цього сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють спектр.

2.1. Періодичні сигнали та ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступною властивістю:

Тут Т – період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий у гол. I ортонормований базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональне розкладання сигналу цьому базисі, т. е. обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даного сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання за формулою (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, у випадку періодичний сигнал містить залежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, про гармонік з частотами кратними основний частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою та початковою фазою. Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручнішою.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так називається графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладено частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди та початкові фази.

Мал. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а – амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудною діаграмою, яка дозволяє судити про відсотковий зміст тих чи інших гармонік у спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами парної щодо точки t = 0.

У радіотехніці ставлення називають шпаруватістю послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми послідовності, що розглядається, у двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральний склад.

Мал. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів: а - при великій шпаруватості; б - при малій шпаруватості

приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонічним сигналом виду обмеженим лише на рівні (передбачається, що ).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічки, що визначається зі співвідношення звідки

У співвідношенні з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітичний запис імпульсу, що породжує послідовність, що розглядається, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведено на рис. 2.3.

Мал. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Комплексна форма ряду Фур'є.

Спектральне розкладання періодичного сигналу можна виконати і дещо іонному, використовуючи систему базисних функцій, що складається з експонентів з уявними показниками:

Легко бачити, що функції цієї системи періодичні з періодом ортонормовані на відрізку часу, оскільки

Ряд Фур'є довільного періодичного сигналу в даному випадку набуває вигляду

з коефіцієнтами

Зазвичай використовують таку форму запису:

Вираз (2.11) є рядом Фур'є в комплексній формі.

Спектр сигналу відповідно до формули (2.11) містить компоненти негативної півосі частот, причому . У ряді (2.11) складові з позитивними та негативними частотами поєднуються в пари, наприклад.

Форми запису ряду Фур'є. Сигнал називається періодичним,якщо його форма циклічно повторюється у часі Періодичний сигнал u(t)у загальному вигляді записується так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,...

Тут Т-період сигналу. Періодичні сигнали може бути як простими, і складними.

Для математичного подання періодичних сигналів з періодом Тчасто користуються поруч (2.2), в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) коливання кратних частот

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

де w 1 =2p/T-основна кутова частота послідовності

функцій. При гармонійних базисних функціях із низки (2.2) отримуємо ряд Фур'є (Жан Фур'є - французький математик і фізик ХІХ століття).

Гармонічні функції виду (2.3) у ряді Фур'є мають такі переваги: ​​1) простий математичний опис; 2) інваріантність до лінійних перетворень, тобто якщо на вході лінійного ланцюга діє гармонійне коливання, то і на виході її також буде гармонійне коливання, що відрізняється від вхідного тільки амплітудою та початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонійні функції періодичні та мають нескінченну тривалість; 4) техніка генерування гармонійних функцій досить проста.

З курсу математики відомо, що для розкладання періодичного сигналу в ряд гармонійних функцій (2.3) необхідне виконання умов Диріхле. Але всі реальні періодичні сигнали цим умовам задовольняють і їх можна у вигляді ряду Фур'є, який може бути записаний в одній з таких форм:

u(t)=A 0 /2+ (A' mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

де коефіцієнти

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

або у комплексній формі

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

З (2.4) - (2.9) слід, що у випадку періодичний сигнал u(t) містить постійну складову A 0 /2і набір гармонійних коливань основний частоти w 1 =2pf 1 і її гармонік з частотами w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… Кожне з гармонійних

коливань ряду Фур'є характеризується амплітудойі початковою фазою y n .nn

Спектральна діаграма та спектр періодичного сигналу. Якщо якийсь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань із різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладаннясигналу.

Спектральна діаграмасигналу прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є цього сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові діаграми. На рис. 2.6 в деякому масштабі горизонтальної осі відкладені значення частот гармонік, по зертикальній осі - їх амплітуди A mn і фази y n . Причому амплітуди гармонік можуть набувати лише позитивних значень, фази - як позитивних, так і негативних значень в інтервалі -p£y n £p


Спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд та початкових фаз, що утворюють у сумі сигнал. У технічних додатках практично спектральні діаграми називають коротше - амплітудний спектр фазовий спектр.Найчастіше цікавляться амплітудною спектральною діаграмою. Нею можна оцінити відсотковий зміст гармонік у спектрі.

приклад 2.3. Розкласти ряд Фур'є періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами (U m , T, t z),парну "Щодо точки t=0. Побудувати спектральну діаграму амплітуд і фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t і =2 і 8.

Заданий періодичний сигнал на інтервалі одного періоду можна записати як

Скористайтеся для представлення цього сигналу формою запису ряду Фур'є ввигляді (2.4). Так як сигнал парний, то в розкладі залишаться тільки косинусоїдальні складові.

Мал. 2.6. Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а - амплітудна; б- фазова

Інтеграл від непарної функції за період дорівнює нулю. За формулами (2.5) знаходимо коефіцієнти

що дозволяють записати ряд Фур'є:

Для побудови спектральних діаграм при конкретних числових даних задаємося я = 0, 1, 2, 3 ... і обчислюємо коефіцієнти гармонік. Результати розрахунку перших восьми складових спектру зведено у табл. 2.1. У ряді (2.4) А" mn = 0і згідно з (2.7) A mn =|A' mn |, основна частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплітудний спектр на рис.

2.7 побудований для таких n,при яких А mnбільше ніж 5% максимального значення.

З наведеного прикладу 2.3 випливає, що зі збільшенням шпаруватості збільшується кількість спектральних складових та зменшуються їх амплітуди. Кажуть, що такий сигнал має багатий спектр. Необхідно відзначити, що для багатьох практично застосовуваних сигналів немає необхідності проводити обчислення амплітуд та фаз гармонік за наведеними раніше формулами.

Таблиця 2.1. Амплітуди складових ряду Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Мал. 2.7. Спектральні діаграми періодичної послідовності імпульсів: а-при шпаруватості S-2; - б-при шпаруватості S=8

У математичних довідниках є таблиці розкладів сигналів до ряду Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в додатку (табл. П.2).

Часто виникає питання: скільки ж взяти спектральних складових (гармонік), щоб представити реальний сигнал поруч Фур'є? Адже ряд, строго кажучи, нескінченний. Однозначної відповіді тут не можна дати. Все залежить від форми сигналу та точності його подання поруч Фур'є. Більш плавна зміна сигналу - менше потрібно гармонік. Якщо сигнал має стрибки (розриви), необхідно сумувати більше гармонік задля досягнення такої ж похибки. Однак у багатьох випадках, наприклад, у телеграфії, вважають, що й передачі прямокутних імпульсів з крутими фронтами досить трьох гармонік.

Сигнал називається періодичнимякщо його форма циклічно повторюється в часі. Періодичний сигнал у загальному вигляді записується так:

Тут – період сигналу. Періодичні сигнали може бути як простими, і складними.

Для математичного подання періодичних сигналів з періодом часто користуються цим рядом, в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) коливання кратних частот:

де. - Основна кутова частота послідовності функцій. При гармонійних базисних функціях із цього ряду отримаємо ряд Фур'є, який у найпростішому випадку можна записати в такому вигляді:

де коефіцієнти

З низки Фур'є видно, що у випадку періодичний сигнал містить постійну складову і набір гармонійних коливань основний частоти та її гармонік з частотами . Кожне гармонійне коливання ряду Фур'є характеризується амплітудою та початковою фазою.

Спектральна діаграма та спектр періодичного сигналу.

Якщо якийсь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то це означає, що було здійснено спектральне розкладання сигналу.

Спектральна діаграмаСигналом називається графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є цього сигналу. Існують амплітудні та фазові діаграми. Для побудови цих діаграм, у певному масштабі горизонтальної осі відкладаються значення частот гармонік, а, по вертикальної осі - їх амплітуди і фази . Причому амплітуди гармонік можуть набувати лише позитивних значень, фази - як позитивні, так і негативні значення в інтервалі.

Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а) - амплітудна; б) – фазова.

Спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд та початкових фаз, що утворюють у сумі сигнал. На практиці спектральні діаграми називаються коротше - амплітудний спектр, фазовий спектр. Найбільший інтерес виявляють до амплітудної спектральної діаграми. Нею можна оцінити відсотковий зміст гармонік у спектрі.

Спектральні характеристики у техніці електрозв'язку грають велику роль. Знаючи спектр сигналу можна правильно розрахувати та встановити смугу пропускання підсилювачів, фільтрів, кабелів та інших вузлів каналів зв'язку. Знання спектрів сигналів необхідне побудови багатоканальних систем із частотним поділом каналів. Без знання спектру перешкоди важко вжити заходів щодо її придушення.

З цього можна зробити висновок, що спектр треба знати для здійснення неспотвореної передачі сигналу каналом зв'язку, для забезпечення поділу сигналів і послаблення перешкод.


Для спостереження за спектрами сигналів є прилади, які називаються аналізаторами спектру. Вони дозволяють спостерігати та вимірювати параметри окремих складових спектру періодичного сигналу, а також вимірювати спектральну щільність безперервного сигналу.

Курсова робота з математичного аналізу

Тема: Підрахунок часткових сум та спектральних характеристик ряду Фур'є для явної функції

сигнал спектр фур'є функція


1.Модель фізичного процесу

Розв'язання задачі з теоретичними викладками

Приклад розв'язання задачі

Приклад розв'язання задачі в середовищі Matlab R2009a

Список літератури


1.Модель фізичного процесу

Математичною моделлю радіотехнічного сигналу може бути деяка функція часу f(t) . Ця функція може бути речовою або комплексною, одновимірною або багатовимірною, детермінованою або випадковою (сигнали з перешкодами). У радіотехніці та сама математична модель з рівним успіхом описує струм, напруга, напруженість електричного поля тощо.

Розглянемо речові одновимірні детерміновані сигнали

Багато функцій (сигналів) прийнято розглядати як лінійні функціональні нормовані простори, в яких введені такі поняття та аксіоми:

) виконані всі аксіоми лінійного простору;

) скалярний добуток двох дійсних сигналів визначається наступним чином:

) два сигнали називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю;

) система ортогональних сигналів утворює нескінченномірний координатний базис, яким можна розкласти будь-який періодичний сигнал, що належить лінійному простору;

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, за якими можна розкласти сигнал, найбільш поширеною є система гармонійних (синусоїдальних та косинусоїдальних) функцій:



Подання деякого періодичного сигналу як суми гармонійних коливань з різними частотами називається спектральним поданням сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють спектр. З математичної точки зору спектральне уявлення еквівалентне розкладу періодичної функції (сигналу) до ряду Фур'є.

Значення спектрального розкладання функцій у радіотехніці обумовлено низкою причин:

) простота вивчення властивостей сигналу, т.к. гармонійні функції добре вивчені;

) можливість генерування довільного сигналу, т.к. техніка генерування гармонійних сигналів досить проста;

) простота передачі та прийому сигналу по радіоканалу, т.к. гармонійне коливання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму під час проходження через будь-який лінійний ланцюг. Сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним із тією ж частотою, змінюється лише амплітуда та початкова фаза коливання;

) розкладання сигналу за синусами і косинусами дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.

Як модель фізичного процесу розглянемо електрокардіограму роботи серця.



2.Рішення задачі з теоретичними викладками

Завдання 1:

Опишемо за допомогою рядів Фур'є, імпульс, що періодично повторюється, на ділянці електрокардіограми, так званий комплекс QRS.

Комплекс QRS можна встановити наступною кусково-лінійною функцією

Де

Цю функцію можна продовжити періодично з періодом T=2l.

Ряд Фур'є функції:



Визначення 1:Функція називається шматково-безперервнийна відрізку [а,b], якщо вона безперервна у всіх точках цього відрізка, крім кінцевого числа точок, у яких існують її кінцеві односторонні межі.

Визначення 2:Функція називається шматково-гладкоюна деякому відрізку, якщо вона сама та її похідна шматково-безперервні.

Теорема 1 (Ознака Діріхле): Ряд Фур'є шматково-гладкої на відрізку функції f(x) сходиться в кожній точці безперервності до значення функції в даній точці і значення в кожній точці розриву.

Наша функція відповідає умовам теореми.

Для заданої функціїотримуємо наступні коефіцієнти ряду Фур'є:




Комплексна форма ряду Фур'є

Для представлення ряду у комплексній формі скористаємося формулами Ейлера:


Введемо позначення:

Тоді ряд можна переписати у вигляді



Крім того, коефіцієнти комплексного ряду Фур'є можна отримати і безпосередньо, обчислюючи їх за формулою.


Запишемо у комплексній формі ряд Фур'є заданої функції


Спектральні характеристики ряду

Вираз у ряді Фур'є називається n-й гармонікою.Відомо що

де чи

,

Сукупності , називається відповідно амплітудним та фазовим спектромперіодичної функції.

Графічно спектри зображуються у вигляді відрізків довжини , проведених перпендикулярно до осі, на яку наноситься значення n= 1,2 … чи .

Графічне зображення відповідного спектра називається амплітудною чи фазовою діаграмою. Насправді найчастіше застосовують амплітудний спектр.

.Приклад розв'язання задачі

Завдання 2: Розглянемо конкретний прикладЗавдання для обраної моделі фізичного процесу.



Продовжимо цю функцію на всю числову вісь, отримаємо періодичну функцію f(x) з періодом T=2 l= 18 (Рис. 1.).

Мал. 1. Графік періодично продовженої функції

Обчислимо коефіцієнти Фур'є заданої функції.

Запишемо часткові суми ряду:



Мал. 2. Графіки часткових сум низки Фур'є

Зі зростанням nграфіки часткових сум у точках безперервності наближаються до графіка функції f(x) . У точках розриву значення часткових сум наближаються до .

Побудуємо амплітудну та фазову діаграми.


з урахуванням чверті.



Таблиця



4. Приклад вирішення задачі в середовищі Matlab R2009a

Завдання 3:Як приклад розглянемо повністю інтервали PR та QT.

Мал


Для даної функції побудувати графіки часткових сум, а також амплітудну та фазову діаграми.

Візьмемо конкретні значення параметрів нашого завдання:


Скрипт для побудови потрібних графіків та діаграм.

Скрипт дозволяє вирішувати ряд подібних завдань шляхом вибору параметрів та координат точок Q, R, S.

%ПІДРАХУНОК ЧАСТИНИХ СУМ І СПЕКТРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДУ ФУР'Є ДЛЯ ЯВНОЇ

% Спектральний аналіз. I2 = 10; Q=11; Qy = -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;flag == 0=1;(k<15)

k = menu("Зміна параметрів", ...

sprintf ("Параметр1 P = %g", P),...(" Параметр2 I1 = %g", I1),...(" Параметр3 I2 = %g", I2),...(" Параметр4 Qx = %g", Q),...(" Параметр5 Qy = %g", Qy),...(" Параметр6 Rx = %g", R),...(" Параметр7 Ry = %g", Ry),...(" Параметр8 Sx = %g", S),...(" Параметр9 Sy = %g", Sy),...(" Параметр10 I3 = %g", I3). .(" Параметр11 I4= %g", I4),...(" Параметр12 T = %g", T),...(" Параметр13 I5 = %g", I5),...(" Параметр13 Ns = % g ", Ns),...

" Продовжити " );k==1,= input();

endk==2,= input();

endk==3,= input();

endk==4,= input();

endk==5,= input();

endk==6,= input();

endk==7,= input();

"Нове значення Sx="]);

endk==9,= input();

endk==10,= input();

endk==11,= input();

endk==12,= input();

endk==13,= input()

endk==14,= input()

% Застосування параметрів = Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=length(t );=zeros(1,Dim);=floor(I1*N/2/L)+1;=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;=floor((Q-I2) *N/2/L)+1;=floor((R-Q)*N/2/L)+1;= floor((S-R)*N/2/L)+1;= floor((I3-S) *N/2/L)+1;= floor((I4-I3)*N/2/L)+1;= floor((I5-I4)*N/2/L)+1;= floor(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d; +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1) ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4+u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

title("Графік процесу"); xlabel("Час (с)"); ylabel("Y(t)");

%Графік часткової сумиn

n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1); 2=a0+quad(@f, I1, I2); );4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S);6=a0+quad(@f, S, I3);7=a0+quad( @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@ f, I4, I5); ;=zeros(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0 , I1); 2(i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q); );(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S); quad(@g, R, S); 6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3); (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@ g, I3, I4); @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@ g, I4, I5); i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=zeros(1, length (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; *x/L);

title("Графік сигналу та часткової суми"); xlabel("Час (с)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

% Побудова амплітудної діаграми = zeros (1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Амплітудна діаграма сигналу"); xlabel("n"); ylabel("An");

% Побудова фазової діаграми сигналу = zeros (1, Ns);

for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i))<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i))<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, продовжити - ");



переліклітератури

1. Фіхтенгольц, Г.М. Курс диференціального та інтегрального обчислення: 3 т., М., 1997. 3 т.

Воднєв, Ст Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основні математичні формули. Мінськ, 1998

Харкевич, А.А, Спектри та аналіз. Москва, 1958

Лазарєв, Ю. Ф., Початки програмування серед MatLAB. Київ 2003.

Демидович, Б.П. Збірник завдань та вправ з математичного аналізу, М., 1988.

Часто математичний опис навіть нескладних за структурою та формою детермінованих сигналів є важким завданням. Тому використовують оригінальний прийом, при якому реальні складні сигнали замінюють (подають, апроксимують) набором (зваженою сумою, тобто поруч) математичних моделей, що описуються елементарними функціями. Це дає важливий інструмент аналізу проходження електричних сигналів через електронні ланцюга. Крім того, уявлення сигналу може використовуватися як вихідне при його описі та аналізі. При цьому можна суттєво спростити обернене завдання - синтезскладних сигналів із сукупності елементарних функцій.

Спектральне подання періодичних сигналів рядами Фур'є

Узагальнений ряд Фур'є.

Фундаментальна ідея спектрального представлення сигналів (функцій) походить від часів більш ніж 200-річної давності і належить фізику та математику Ж. Б. Фур'є.

Розглянемо системи елементарних ортогональних функцій, кожна з яких виходить з однієї вихідної функції-прототипу. Ця функція-прототип виконує роль «будівельного блоку», а апроксимація, що шукається, знаходиться відповідним комбінуванням однакових блоків. Фур'є показав, що будь-яку складну функцію можна представити (апроксимувати) у вигляді кінцевої або нескінченної суми ряду кратних гармонійних коливань з певними амплітудами, частотами та початковими фазами. Цією функцією може бути, зокрема, струм або напруга ланцюга. Сонячний промінь, розкладений призмою на спектр кольорів, є фізичним аналогом математичних перетворень Фур'є (рис. 2.7).

Світло, що виходить із призми, розділене у просторі на окремі чисті кольори, або частоти. У спектрі є середня амплітуда кожної частоті. Таким чином, функція інтенсивності від часу трансформувалася на функцію амплітуди в залежності від частоти. Простий приклад ілюстрацій міркувань Фур'є показано на рис. 2.8. Періодична, досить складна формою крива (рис. 2.8, а) -це сума двох гармонік різних, але кратних частот: одинарної (рис. 2.8, б)та подвоєною (рис. 2.8, в).

Мал. 2.7.

Мал. 2.8.

а- Складне коливання; б,в- 1-й та 2-й апроксимуючі сигнали

За допомогою спектрального аналізу Фур'є складна функція є сумою гармонік, кожна з яких має свою частоту, амплітуду і почату фазу. Перетворення Фур'є визначає функції, що становлять амплітуду і фазу гармонійних складових, що відповідають конкретній частоті, а фаза - початкова точка синусоїди.

Перетворення можна отримати двома різними математичними методами, один із яких застосовують, коли вихідна функція безперервна, а інший - коли вона задається безліччю окремих дискретних значень.

Якщо досліджувана функція отримана із значень з певними дискретними інтервалами, її можна розбити на послідовний ряд синусоїдальних функцій з дискретними частотами - від найнижчої, основний чи головної частоти, і далі з частотами вдвічі, втричі тощо. вище за основну. Така сума складових і називається поряд Фур'є.

Ортогональні сигнали. Зручним способом спектрального опису сигналу Фур'є є його аналітичне уявлення за допомогою системи ортогональних елементарних функцій часу. Нехай є гільбертовий простір сигналів u 0 (t) yг/,(?), ..., u n (t)з кінцевою енергією, визначених на кінцевому чи нескінченному інтервалі часу (t v 1 2). На цьому відрізку поставимо нескінченну систему (підмножина) взаємопов'язаних елементарних функцій часу та назвемо її базисної".

де г = 1, 2, 3,....

Функції u(t)і v(t)ортогональні на інтервалі (?, ? 2), якщо їх скалярне твір за умови що жодна з цих функцій нс дорівнює тотожному нулю.

У математиці так задають у просторі гільберта сигналів ортогональний координатний базис, тобто. систему ортогональних базових функцій.

Властивість ортогональності функцій (сигналів) пов'язані з інтервалом визначення (рис. 2.9). Наприклад, два гармонійні сигнали м,(?) = = sin(2nr/7' 0) і u.,(t)= sin(4 nt/T Q)(тобто з частотами/ 0 = 1/7' 0 і 2/ 0 відповідно) ортогональні на будь-якому інтервалі часу, тривалість якого дорівнює цілому числу напівперіодів Т 0(рис. 2.9, а).Отже, у першому періоді сигнали та ( (1)і u 2 (t)ортогональні на інтервалі (0, 7" 0 /2); але на інтервалі (О, ЗГ 0 /4) вони неортогональні. Па рис. 2.9, бсигнали ортогональні через різночасність їх появи.

Мал. 2.9.

а- на інтервалі; б -через різночасність появи Подання сигналу u(t)елементарними моделями істотно спрощується, якщо вибрано систему базисних функцій vff),які мають властивість ортонормованості.З математики відомо, якщо для будь-якої пари функцій із ортогональної системи (2.7) виконується умова

то система функцій (2.7) ортонормована.

У математиці таку систему базисних функцій виду (2.7) називають ортонормованим базисом.

Нехай на заданому інтервалі часу | t 2| діє довільний сигнал u(t)і його представлення використовується ортонормована система функцій (2.7). Проектування довільного сигналу u(t)на осі координатного базису називається розкладанням у узагальнений ряд Фур'є.Це розкладання має вигляд

де с - деякі постійні коефіцієнти.

Для визначення коефіцієнтів з доузагальненого ряду Фур'є виберемо одну з базових функцій (2.7) v k (t) здовільним номером до.Помножимо обидві частини розкладання (2.9) на цю функцію та проінтегруємо результат за часом:

Внаслідок ортонормованості базису обраних функцій у правій частині цієї рівності всі члени суми при i ^ дозвернуться в нуль. Ненульовим залишиться лише єдиний член суми з номером i = до,тому

Добуток виду c k v k (t),входить у узагальнений ряд Фур'є (2.9), являє собою спектральну складовусигналу u(t),а сукупність коефіцієнтів (проекцій векторів сигналу на осі координат) (з 0, с,..., з до,..., с„) повністю визначає аналізований сигнал ii(t)і називається його спектром(Від лат. spectrum- Образ).

Суть спектрального уявлення (аналізу) сигналу полягає у визначенні коефіцієнтів з я відповідно до формули (2.19).

Вибір раціональної ортогональної системи координатного базису функцій залежить від мети досліджень та визначається прагненням максимального спрощення математичного апарату аналізу, перетворень та обробки даних. Як базисні функції в даний час використовуються поліноми Чебишева, Ерміта, Лагерра, Лежандра та ін. Найбільшого поширення набуло перетворення сигналів у базисах гармонійних функцій: комплексних експоненційних exp(J 2лft)та речових тригонометричних синусно-косинусних функцій, пов'язаних формулою Ейлера е >х= cosx + y"sinx. Це пояснюється тим, що гармонійне коливання теоретично повністю зберігає свою форму при проходженні через лінійні ланцюги з постійними параметрами, а змінюються при цьому лише його амплітуда та початкова фаза. Також широко використовується добре розроблений теоретично ланцюгів символічний метод. Операцію подання детермінованих сигналів у вигляді сукупності постійної складової ( constant component)і суми гармонійних коливань із кратними частотами прийнято називати спектральним розкладанням.Досить поширене використання теорії сигналів узагальненого ряду Фур'є пов'язано також з його дуже важливою властивістю: при обраній ортонормованій системі функцій v k (t)та фіксованому числі доданків ряду (2.9) він забезпечує найкраще подання заданого сигналу u(t).Ця властивість рядів Фур'є широко відома.

При спектральному поданні сигналів найбільшого застосування отримали ортонормовані базиси. тригонометричних функцій. Це зумовлено наступним: гармонійні коливання найпростіше генерувати; гармонійні сигнали інваріантні щодо перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланцюгами.

Оцінимо тимчасове та спектральне уявлення аналогового сигналу(Рис. 2.10). На рис. 2.10, апоказана часова діаграма складного формою безперервного сигналу, але в рис. 2.10, б -його спектральне розкладання.

Розглянемо спектральне уявлення періодичних сигналів як суми чи гармонійних функцій, чи комплексних експонент із частотами, утворюючими арифметичну прогресію.

Періодичнимназивають сигнал і„(?). що повторюється через регулярні інтервали часу (рис. 2.11):

де Г - період повторення або проходження імпульсів; п = 0,1, 2,....

Мал. 2.11. Періодичний сигнал

Якщо Тє періодом сигналу u(t),то періодами будуть і кратні значення: 2Г, 3 Ті т.д. Періодична послідовність імпульсів (їх називають відеоімпульсами) описується виразом


Мал. 2.10.

а- тимчасова діаграма; б- амплітудний спектр

Тут u Q (t)- Форма одиночного імпульсу, що характеризується амплітудою (заввишки) h = Е,тривалістю т„, періодом прямування Т= 1/F(F - частота), положенням імпульсів у часі щодо тактових точок, наприклад t = 0.

При спектральному аналізі періодичних сигналів зручна ортогональна система (2.7) у вигляді гармонійних функцій із кратними частотами:

де зі, = 2п/Т-частота проходження імпульсів.

Обчислюючи інтеграли, за формулою (2.8) легко переконатися в ортогональності цих функцій інтервалі [-Г/2, Г/2|. Будь-яка функція задовольняє умову періодичності (2.11), оскільки їх частоти кратні. Якщо систему (2.12) записати як

то отримаємо ортонормований базис гармонійних функцій.

Представимо періодичний сигнал найбільш поширеної теорії сигналів тригонометричної(синусно-косинусний) формоюряду Фур'є:

З курсу математики відомо, що розкладання (2.11) є, тобто. ряд сходиться, якщо функція (в даному випадку сигнал) u(t)на інтервалі [-7/2, 7/2] задовольняє умовам Діріхле(на відміну від теореми Діріхле їх часто трактують спрощено):

  • не повинно бути розривів 2-го роду (з гілками, що йдуть в нескінченність);
  • функція обмежена та має кінцеве число розривів 1-го роду (стрибків);
  • функція має кінцеве число екстремумів (тобто максимумів та мінімумів).

У формулі (2.13) є такі компоненти аналізованого сигналу:

Постійна складова

Амплітуди косинусоїдальних складових

Амплітуди синусоїдальних складових

Спектральну складову з частотою з теоретично зв'язку називають першою (Основний) гармонікою, а складові з частотами ісо, (П > 1) - вищими гармонікамиперіодичного сигналу. Крок за частотою Асо між двома сусідніми синусоїдами з розкладання Фур'є називають частотною роздільною здатністюспектра.

Якщо сигнал є парною функцією часу u(t) = u(-t), то в тригонометричному записі ряду Фур'є (2.13) відсутні синусоїдальні коефіцієнти Ьп, оскільки відповідно до формули (2.16) вони перетворюються на нуль. Для сигналу u(t),описуваного непарною функцією часу, навпаки, згідно з формулою (2.15) нулю дорівнюють косинусоїдальні коефіцієнти а п(постійна складова а 0також відсутня), і ряд містить складові Ь п.

Межі інтегрування (від -7/2 до 7/2) не обов'язково мають бути такими, як у формулах (2.14)-(2.16). Інтегрування може проводитись за будь-яким інтервалом часу шириною 7 - результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються з міркувань зручності обчислень; наприклад, може бути простіше виконувати інтегрування від Про до 7 або від -7 до 0 і т.д.

Розділ математики, що встановлює співвідношення між функцією часу u(t) та спектральними коефіцієнтами а п, Ь п,називають гармонійним аналізомвнаслідок зв'язку функції u(t)з синусоїдальними та косинусоїдальними членами цієї суми. Далі спектральний аналіз переважно обмежений рамками гармонійного аналізу, що знаходить виняткове застосування.

Часто застосування синусно-косинусної форми ряду Фур'є не зовсім зручне, оскільки для кожного значення індексу підсумовування п(Тобто для кожної гармоніки з частотою mOj) у формулі (2.13) фігурують два доданки - косинус і синус. З математичної точки зору зручніше цю формулу уявити еквівалентним рядом Фур'є в речовій формі/.

де А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь -амплітуда; п-й гармонікисигналу. Іноді у співвідношенні (2.17) перед ср Л ставлять знак «плюс», тоді початкову фазу гармонік записують як ср і = -arctg ( b n fa n).

Теоретично сигналів широко використовують комплексну форму низки Фур'є. Вона виходить з речовинної форми ряду поданням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонентів за формулою Ейлера:

Застосувавши дане перетвореннядо речової форми ряду Фур'є (2.17), отримаємо суми комплексних експонентів з позитивними та негативними показниками:


А тепер трактуватимемо у формулі (2.19) експоненти при частоті зі, зі знаком «мінус» у показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж підходу коефіцієнт А 0стане членом ряду із нульовим номером. Після нескладних перетворень приходимо до комплексній форміряду Фур'є

Комплексна амплітуда п-ї гармоніки.

Значення З пза позитивними та негативними номерами пє комплексно-сполученими.

Зазначимо, що ряд Фур'є (2.20) є ансамблем комплексних експонентів. exp (jn (o (t)) із частотами, що утворюють арифметичну прогресію.

Визначимо зв'язок між коефіцієнтами тригонометричної та комплексної форм ряду Фур'є. Очевидно, що

Можна також показати, що коефіцієнти а п= 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f.

Якщо u(t)є парною функцією, коефіцієнти ряду С, будуть речовими,а якщо u(t) -функція непарна, коефіцієнти ряду стануть уявними.

Спектральне уявлення періодичного сигналу комплексною формою низки Фур'є (2.20) містить як позитивні, і негативні частоти. Але негативні частоти у природі немає, і це математична абстракція (фізичний сенс негативної частоти - обертання у бік, протилежному тому, яке прийнято за позитивне). Вони виникають як наслідок формального уявлення гармонійних коливань комплексною формою. При переході від комплексної форми запису (2.20) до речової (2.17) негативна частота пропадає.

Наочно про спектр сигналу судять але його графічному зображенню- Спектральній діаграмі (рис. 2.12). Розрізняють амплітудно-частотніі фазочастотні спектри.Сукупність амплітуд гармонік А п(Рис. 2.12, а)називають амплітудним спектромїх фаз (рис. 2.12, б)ср я - фазовий спектр.Сукупність З п = |З пє комплексним амплітудним спектром(Рис. 2.12, в).На спектральних діаграмах але осі абсцис відкладають поточну частоту, але осі ординат - або речовинну, або комплексну амплітуду або фазу відповідних гармонійних складових аналізованого сигналу.


Мал. 2.12.

а -амплітудний; б -фазовий; в -амплітудний спектр комплексного ряду Фур'є

Спектр періодичного сигналу називають лінійчастимабо дискретним, оскільки він складається з окремих ліній з висотою, що дорівнює амплітуді А пгармонік. З усіх видів спектрів найбільш інформативний амплітудний, оскільки він дозволяє оцінити кількісне зміст тих чи інших гармонік у частотному складі сигналу. Теоретично сигналів доведено, що амплітудний спектр є парна функція частоти, а фазовий - непарна.

Зазначимо еквідистантність(рівновіддаленість від початку координат) комплексного спектру періодичних сигналів: симетричні (позитивні та негативні) частоти, на яких розташовані спектральні коефіцієнти тригонометричного ряду Фур'є, утворюють еквідистантну послідовність (..., -Жо v..., -2со р -з р 0, v 2со, ..., nco v...), що містить частоту = 0 і має крок co t = 2л/7 '. Коефіцієнти можуть набувати будь-яких значень.

Приклад 2.1

Розрахуємо амплітудний та фазовий спектри періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою?, тривалістю т та й періодом повторення Т.Сигнал – функція парна (рис. 2.13).


Мал. 2.13.

Рішення

Відомо, що ідеальний прямокутний відеоімпульс описується наступним рівнянням:

тобто. він формується як різницю двох одиничних функцій а(?) (функцій включення), зрушених у часі на т н.

Послідовність прямокутних імпульсів являє собою відому суму одиночних імпульсів:

Оскільки заданий сигнал є парною функцією часу протягом одного періоду діє лише на інтервалі [т і /2, т і /2], то згідно з формулою (2.14)

де q = Т/т„.

Аналізуючи отриману формулу, можна помітити, що період прямування та тривалість імпульсів входять до неї у вигляді відношення. Цей параметр q -відношення періоду до тривалості імпульсів - називають шпаруватістюперіодичної послідовності імпульсів (у зарубіжній літературі замість шпаруватості використовують зворотну величину - коефіцієнт заповнення, від англ. duty cycle, рівний т і /7); при q = 2 послідовність прямокутних імпульсів, коли тривалості імпульсів та проміжків між ними стають рівними, називають меандром(Від грец. paiav5poq - візерунок, геометричний орнамент).

У силу парності функції, що описує аналізований сигнал, у ряді Фур'є поряд з постійною складовою будуть присутні лише косинусоїдальні складові (2.15):

У правій частині формули (2.22) другий співмножник має вигляд елементарної функції (sinx)/x. У математиці цю функцію позначають як sinc(x), причому лише за значення х= 0 вона дорівнює одиниці (lim (sinx/x) = 1), проходить

через нуль у точках х = ±л, ±2л,... і згасає із зростанням аргументу х (рис. 2.14). Остаточно тригонометричний ряд Фур'є (2.13), який апроксимує заданий сигнал, записують у формі

Мал. 2.14.Графік функції sinx/x

Функція sine має пелюстковий характер. Говорячи про ширину пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальної осі – у номерах гармонік та частотах. Наприклад, на рис. 2.14 градуювання осі ординат відповідає частотам. Ширина пелюсток, виміряна серед гармонік, дорівнює шпаруватості послідовності. Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів - у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними шпаруватості. При шпаруватості імпульсів, що дорівнює трьом, зникає кожна третя гармоніка. Якби шпаруватість дорівнювала б двом, то в спектрі залишилися б лише непарні гармоніки основної частоти.

З формули (2.22) та рис. 2.14 слід, що коефіцієнти низки вищих гармонік сигналу мають негативний знак. Це з тим, що початкова фаза цих гармонік дорівнює п.Тому формулу (2.22) прийнято подавати у зміненому вигляді:

При такому записі ряду Фур'є значення амплітуд всіх вищих гармонійних складових на графік спектральної діаграми позитивні (рис. 2.15, а).

Амплітудний спектр сигналу значною мірою залежить від відношення періоду повторення Ті тривалості імпульсу т і, тобто. від свердловості q.Відстань по частоті між сусідніми гармоніками дорівнює частоті проходження імпульсів з 1 = 2л/Т. Ширина пелюсток спектра, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2я/т зв. обернено пропорційна тривалості імпульсів. Зазначимо, що при одній і тій же тривалості імпульсу зі збільшенням не-


Мал. 2.15.

а- амплітудний;б- фазовий

ріода їх повторення Тосновна частота зменшується і спектр стає щільнішим.

Ту ж картину спостерігають, якщо вкорочують тривалість імпульсу т і при постійному періоді Т.Амплітуди всіх гармонік у своїй зменшуються. Це прояв загального закону (принципу невизначеності В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’,чим коротше тривалість сигналу, тим ширший спектр.


Фази складових визначимо з формули ср п = arctg (b n /a n).Тому що тут коефіцієнти Ь„= 0, то

де m = 0, 1, 2,....

Співвідношення (2.24) показує, що з обчислення фаз спектральних складових маємо справу з математичною невизначеністю. Для її розкриття звернемося до формули (2.22), згідно з якою амплітуди гармонік періодично змінюють знак відповідно до зміни знаку функції sin(nco 1 x 1I /2). Зміна знака у формулі (2.22) еквівалентно зсуву фази цієї функції на п.Отже, коли ця функція позитивна, фаза гармоніки (р і = 2 тп,а коли негативна - = (2т + 1 )до(Рис. 2.15, б). Зауважимо, що хоча амплітуди складових у спектрі прямокутних імпульсів і зменшуються із зростанням частоти (див. рис. 2.15, а),цей спад досить повільний (амплітуди спадають назад пропорційно до частоти). Для передачі таких імпульсів без спотворень потрібна нескінченна смуга частот каналу зв'язку. Для порівняно малопомітних спотворень граничне значення смуги частот має бути набагато більше значення, зворотного тривалості імпульсу. Однак усі реальні канали мають кінцеву смугу пропускання, що призводить до спотворень форми переданих імпульсів.

Ряди Фур'є довільних періодичних сигналів можуть містити нескінченно велика кількістьчленів. При розрахунках спектрів таких сигналів обчислення нескінченної суми ряду Фур'є викликає певні труднощі і не завжди потрібно, тому обмежуються підсумовуванням кінцевої кількості доданків (ряд «усікають»).

Точність апроксимації сигналу залежить від числа складових, що підсумовуються. Розглянемо це з прикладу апроксимації сумою з восьми перших гармонік послідовності прямокутних імпульсів (рис. 2.16). Сигнал має вигляд однополярного меандру з періодом повторення Туамплітудою Е= 1 і тривалістю імпульсів т і = Т/2 (заданий сигнал - функція парна - рис. 2.16, а; свердловість q= 2). Апроксимація показана на рис. 2.16 б, причому на графіках показано число сумованих гармонік. У проведеній апроксимації заданого періодичного сигналу (див. рис. 2.13) тригонометричним рядом (2.13) підсумовування першої та вищих гармонік здійснюватиметься лише за непарними коефіцієнтами Путому що при парних їх значеннях і тривалості імпульсу т і = Т/2 = = тт/с, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) перетворюється на нуль.


Тригонометрична форма ряду Фур'є (2.23) для заданого сигналу має вигляд


Мал. 2.16.

а -заданий сигнал; 6 - проміжні стадії підсумовування

Для зручності подання ряд Фур'є (2.25) можна записати спрощено:

З формули (2.26) очевидно, що гармоніки, що апроксимують меандр, непарні, мають знаки, що чергуються, а їх амплітуди назад пропорційні номерам. Зазначимо, що послідовність прямокутних імпульсів погано підходить для представлення поряд Фур'є - апроксимація містить пульсації та стрибки, а сума будь-якого числа гармонійних складових з будь-якими амплітудами завжди буде безперервною функцією. Тому поведінка низки Фур'є на околицях розривів становить особливий інтерес. З графіків рис. 2.16, б неважко помітити, як із збільшенням числа сумованих гармонік результуюча функція все точніше наближається до форми вихідного сигналу u(t)скрізь, крім точок її розриву. В околиці точок розриву підсумовування ряду Фур'є дає похилий ділянку, причому крутість нахилу результуючої функції зростає зі збільшенням числа сумирних гармонік. У самій точці розриву (позначимо її як t = t 0)ряд Фур'є u(t 0)сходиться до напівсуми правої та лівої меж:

На ділянках, що примикають до розриву апроксимованої кривої, сума ряду дає помітні пульсації, причому на рис. 2.16 видно, що амплітуда основного викиду цих пульсацій не зменшується зі зростанням числа сумованих гармонік - він лише стискається по горизонталі, наближаючись до точки розриву.

При п-? у точках розриву амплітуда викиду залишається постійною,

а його ширина буде нескінченно вузькою. Не змінюються і відносна амплітуда пульсацій (стосовно амплітуди стрибка), і відносне згасання; змінюється лише частота пульсацій, яка визначається частотою останніх сумованих гармонік. Це з збіжністю низки Фур'є. Звернемося до класичного прикладу: чи досягнете ви коли-небудь стіни, якщо з кожним кроком проходитимете половину відстані, що залишилася? Перший крок призведе до позначки половини колії, другий - до позначки на трьох його чвертях, а після п'ятого кроку пройдете вже майже 97% колії. Ви майже дійшли до мети, проте скільки б ви ще кроків уперед не зробили, ніколи не досягнете її в суворому математичному сенсі. Можна лише довести математично, що врешті-решт ви зможете наблизитися на будь-яку задану скільки завгодно малу відстань. Даний доказ буде еквівалентним демонстрації того, що сума чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 і т.д. прагне одиниці. Це явище, властиве всім рядам Фур'є для сигналів із розривами 1-го роду (наприклад, стрибками, як на фронтах прямокутних імпульсів), називають ефектом Гіббса*. При цьому значення першого (найбільшого) викиду амплітуди в кривій, що апроксимується, становить близько 9% рівня стрибка (див. рис. 2.16, п = 4).

Ефект Гіббса призводить до непереборної похибки апроксимації періодичних імпульсних сигналів з розривами 1-го роду. Ефект має місце при різких порушеннях монотонності функцій. На стрибках ефект максимальний, у всіх інших випадках амплітуда пульсацій залежить від характеру порушення монотонності. Для ряду практичних програм ефект Гіббса викликає певні проблеми. Наприклад, у звуковідтворювальних системах це явище називають «дзвоном» або «брязкотом». При цьому кожен різкий приголосний або інший несподіваний звук може супроводжуватися коротким неприємним для слуху звуком.

Ряд Фур'є може бути використаний не тільки для періодичних сигналів, але і для сигналів кінцевої тривалості. При цьому обговорюється час-

ний інтервал, котрій будується ряд Фур'є, а інші моменти часу сигнал вважається рівним нулю. Для розрахунку коефіцієнтів ряду такий підхід означає періодичне продовженнясигналу за межами розглянутого інтервалу.

Зазначимо, як і природа (наприклад, слух людини) використовує принцип гармонійного аналізу сигналів. Віртуальне перетворення Фур'є людина робить щоразу, коли чує звук: вухо автоматично виконує це, представляючи звук як спектра послідовних значень гучності для тонів різної висоти. Мозок людини перетворює цю інформацію на звук, що сприймається.

Гармонійний синтез. Теоретично сигналів поруч із гармонійним аналізом сигналів широко використовують гармонійний синтез- Отримання заданих коливань складної форми шляхом підсумовування ряду гармонійних складових їх спектру. По суті, вище було проведено синтез періодичної послідовності прямокутних імпульсів сумою з ряду гармонік. Насправді ці операції виконують на комп'ютері, як це показано на рис. 2.16, б.

  • Жан Батіст Жозеф Фур'є (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французький математик та фізик.
  • Джозайя Гіббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американський фізик та математик, один із основоположників хімічної термодинаміки та статистичної фізики.