Сдвиговый регистр с линейной обратной связью делфи. Регистры сдвига с обратной линейной связью. Предыстория регистров сдвига

Регистр сдвига с обратной связью состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи .

Рис 19. Регистр сдвига с обратной связью.

В общем случае регистр сдвига представляет собой последовательность некоторых элементов кольца или поля. Наиболее часто применяются битовые регистры сдвига. Длина такого регистра выражается числом битов. При каждом извлечении бита все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый старший бит рассчитывается как функция всех остальных битов регистра. Выходом обычно является младший значащий бит. Периодом регистра сдвига называют длину выходной последовательности до начала ее повторения.

Простейший тип регистров сдвига – регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС или ЛРС). Обратная связь – простая операция XOR над некоторыми битами регистра. Перечень этих битов определяется характеристическим многочленом и называется последовательностью отводов . Иногда такую схему называют конфигурацией Фибоначчи .

Рис.20. РСЛОС конфигурации Фибоначчи.

При программной реализации РСЛОС пользуются модифицированной схемой: для генерации нового значащего бита вместо использования битов последовательности отводов над каждым ее битом выполняется операция XOR с выходом генератора, заменяя старый бит последовательности отводов. Такую модификацию иногда называют конфигурацией Галуа .

Рис.21. РСЛОС конфигурации Галуа.

n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n – 1 внутренних состояний. Это значит, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n – 1 битов (заполнение нулями совершенно бесполезно). Прохождение всех 2 n – 1 внутренних состояний возможно только при определенных последовательностях отводов. Такие регистры называют РСЛОС с максимальным периодом. Для обеспечения максимального периода РСЛОС необходимо, чтобы его характеристический многочлен был примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной регистра сдвига. Примитивный многочлен степени n – это такой неприводимый многочлен, который является делителем , но не является делителем x d + 1 для всех d , являющихся делителями 2 n – 1. (При обсуждении многочленов термин простое число заменяется термином неприводимый многочлен ). Характеристический многочлен приведенных на рисунках РСЛОС:

x 32 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1

примитивен по модулю 2. Период такого регистра будет максимальным, циклически проходя все 2 32 – 1 значений до их повторения. Наиболее часто используются прореженные многочлены, т.е. у которых есть только некоторые коэффициенты. наиболее популярны трехчлены.

Важным параметром генератора на базе РСЛОС, является линейная сложность . Она определяется как длина n самого короткого РСЛОС, который может имитировать выход генератора. Линейная сложность важна, поскольку при помощи простого алгоритма Берленкемпа-Мэсси можно воссоздать такой РСЛОС, проверив всего 2n битов гаммы. С определением нужного РСЛОС поточный шифр фактически взламывается.

Помимо РСЛОС применяются и регистры сдвига с нелинейной обратной связью, обратной связью по переносу и пр.

Ряд генераторов разработан на основе теоретико-числового подхода (генераторы Блюма-Микали, RSA, BBS, сжимающие, аддитивные генераторы и пр.).

Математическое обеспечение синтеза поточных криптографических алгоритмов разработано более полно и подробно по сравнению с блочными криптоалгоритмами. Тем не менее для создания поточных шифров зачастую используют блочные криптоалгоритмы в режимах OFB или CFB.

В регистре сдвига с линейной обратной связью выделяют две части (модуля): собственно регистра сдвига и схемы (или подпрограммы) вычисляющих значение вдвигаемого бита. Регистр состоит из функциональных ячеек (или битов машинного слова или нескольких слов), в каждой из которой хранится текущее состояние одного бита . Количество ячеек , называют длиной регистра. Биты (ячейки) обычно нумеруются числами , каждая из которых способна хранить бит, причём в ячейку происходит вдвижение вычисленного бита, а из ячейки извлекается выдвигаемый очередной сгенерированный бит. Вычисление вдвигаемого бита обычно производится до сдвига регистра, и только после сдвига значение вычисленного бита помещается в ячейку .

Периодом регистра сдвига называют минимальную длину получаемой последовательности до начала её повторения. Так как регистр из битовых ячеек имеет только разных ненулевых состояний, то, принципиально, период регистра не может превышать это число. Если период регистра равен этому числу, то такой регистр называют регистром максимального периода.

Для РСЛОС функция обратной связи является линейной булевой функцией от состояний всех или некоторых битов регистра. Например, сумма по модулю два или её логическая инверсия является линейной булевой функцией (операция XOR, в формулах обозначают как ) и наиболее часто применяется в таких регистрах.

При этом те биты, которые являются переменными функции обратной связи, принято называть отводами .

Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактового или синхроимпульса ) на все ячейки, в программных - выполнением программного цикла, включающего вычисление функции обратной связи и сдвига битов в слове.

В течение каждого такта времени выполняются следующие операции:

Регистр сдвига с линейной обратной связью

Таким образом, в качестве функции обратной связи берётся логическая операция XOR (исключающее ИЛИ), то есть:

Свойства примитивных многочленов

Свойства

Свойства выдаваемой РСЛОС последовательности тесно связаны со свойствами ассоциированного многочлена . Его ненулевые коэффициенты называются отводами , как и соответствующие ячейки регистра, поставляющие значения аргументов функции обратной связи.

Линейная сложность

Линейная сложность бинарной последовательности - одна из самых важных характеристик работы РСЛОС. Введём следующие обозначения:

Определение

Линейной сложностью бесконечной двоичной последовательности называется число , которое определяется следующим образом:

Линейной сложностью конечной двоичной последовательности называется число , которое равно длине самого короткого РСЛОС, который генерирует последовательность, имеющую в качестве первых членов .

Свойства линейной сложности

Пусть и - двоичные последовательности. Тогда:

Корреляционная независимость

Чтобы получить высокую линейную сложность криптографы пытаются нелинейно объединить результаты нескольких выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько выходных последовательностей (часто даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты с помощью линейной алгебры. Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью.

Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводом одной из его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выводе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выводах до тех пор пока генератор не будет взломан.

Против многих генераторов потока ключей на базе регистра сдвига с линейной обратной связью успешно использовались корреляционные вскрытия или из вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предполагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.

Пример

Для РСЛОС с ассоциированным многочленом генерируемая последовательность имеет вид . Допустим, перед началом процесса в регистре записана последовательность , тогда период генерируемого потока битов будет равен 7 со следующей последовательностью:

Номер шага	Состояние	Генерируемый бит
0		-
1		1
2		1
3		0
4		1
5		1
6		1
7		0

Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор. Иными словами, период последовательности оказался равен 7, что произошло ввиду примитивности многочлена .

Алгоритмы генерации примитивных многочленов

Готовые таблицы

Вычисление примитивности многочлена - достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-битового сдвигового регистра имеется последовательность . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Код для такого РСЛОС на языке Си следующий:

Int LFSR (void ) { static unsigned long S = 1 ; S = ((( (S>> 31 ) ^ (S>> 30 ) ^ (S>> 29 ) ^ (S>> 27 ) ^ (S>> 25 ) ^ S ) & 1 ) << 31 ) | (S>> 1 ) ; return S & 1 ; }

Программные реализации РСЛОС генераторов достаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на языке Си. Одним из решений является использование параллельно 16-ти РСЛОС (или 32, в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине РСЛОС, а каждый бит слова массива относится к своему РСЛОС. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности. [нужен пример кода ] (См.: bitslice).

Конфигурация Галуа

Конфигурация Галуа регистра сдвига с линейной обратной связью

Схему обратной связи также можно модифицировать. При этом генератор не будет обладать большей криптостойкостью, но его будет легче реализовывать программно. Вместо использования для генерации нового крайнего левого бита битов отводной последовательности выполняется XOR каждого бита отводной последовательности с выходом генератора и замена его результатом этого действия, затем результат генератора становится новым левым крайним битом. На языке Си это выглядит следующим образом:

Int LFSR (void ) { static unsigned long Q = 1 ; Q = (Q>> 1 ) ^ ( Q& 1 ? 0x80000057 : 0 ) ; return Q & 1 ; }

Выигрыш состоит том, что все XOR выполняются за одну операцию.

можно доказать, что приведенная первой конфигурация Фибоначчи и приведенная здесь конфигурация Галуа дают одинаковые последовательности (длиной 2 32 −1), но смещённые по фазе одна от другой
цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR в конфигурации Галуа выполняется примерно в два раза быстрее, чем в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5)
обратите внимание, что в конфигурации Галуа порядок бит в слове, определяющем обратную связь, обратный по сравнению с конфигурацией Фибоначчи

Примеры генераторов

Генераторы «стоп-пошёл»

Чередующийся генератор «стоп-пошёл»

Этот генератор использует вывод одного РСЛОС для управления тактовой частотой другого РСЛОС. Тактовый выход РСЛОС-2 управляется выходом РСЛОС-1, так что РСЛОС-2 может менять своё состояние в момент времени t, только если выход РСДОС-1 в момент времени t-1 был равен единице. Но эта схема не устояла перед корреляционным вскрытием.

Поэтому был предложен улучшенный генератор, основанный на этой же идее. Его называют чередующийся генератор «стоп-пошёл». В нём используются три РСЛОС различной длины. РСЛОС-2 тактируется, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3, когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является сумма по модулю 2 РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Его авторы показали также способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет генератор.

Каскад Голлманна

Каскад Голлманна представляет собой усиленную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна n, то линейная сложность системы из k РСЛОС равна .

Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому «запиранием» (lock-in). Для большей стойкости рекомендуется использовать k не менее 15. Причём лучше использовать больше коротких РСЛОС, чем меньше длинных РСЛОС.

Пороговый генератор

Этот генератор пытается обойти проблемы безопасности, характерные для предыдущих генераторов с помощью переменного числа регистров сдвига. В теории при применении большего числа сдвиговых регистров сложность шифра возрастает, что и было сделано в данном генераторе.

Этот генератор состоит из большого числа регистров сдвига, выводы которых поступают на функцию мажорирования. Если число единиц на выходах регистров больше половины, то генератор выдает единицу. Если число нулей на выходах больше половины, то генератор выдает ноль. Для того чтобы сравнение число нулей и единиц было возможным, количество регистров сдвига должно быть нечётным. Длины всех регистров должны быть взаимно просты, а многочлены обратной связи - примитивны , чтобы период генерируемой последовательности был максимален.

Для случая трёх регистров сдвига генератор можно представить как:

Этот генератор похож на генератор Геффа за исключением того, что пороговый генератор обладает большей линейной сложностью. Его линейная сложность равна:

где , , - длины первого, второго и третьего регистров сдвига.

Его недостатком является то, что каждый выходной бит дает некоторую информацию о состоянии сдвигового регистра. А точнее 0.189 бита. Поэтому данный генератор может не устоять перед корреляционным вскрытием.

Другие виды

Самопрореживающие

Самопрореживающими называются генераторы, которые управляют собственной частотой. Было предложено два типа таких генераторов. Первый состоит из регистра сдвига с обратной линейной связью и некоторой схемы, которая тактирует этот регистр, в зависимости от того какими получаются выходные значения регистра сдвига. Если выход РСЛОС равен единице, то регистр тактируется d раз. Если выход равен нулю, то регистр тактируется k раз. Второй имеет практически ту же конструкцию, но несколько модифицированную: в схеме тактирования на вход, в качестве проверки на 0 или 1, поступает не сам выходной сигнал, а XOR определённых битов регистра сдвига с линейной обратной связью. К сожалению, этот вид генератора не безопасен.

Многоскоростной генератор с внутренним произведением

Этот генератор использует два регистра сдвига с линейной обратной связью с разными тактовыми частотами: РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d раз больше чем РСЛОС-1. Отдельные биты этих регистров объединяются операцией AND. Затем с выходами операции AND выполняется операция XOR. С этого блока XOR снимается выходная последовательность. Опять же и этот генератор не безупречен (Он не выстоял перед вскрытием линейной согласованности. Если - длина РСЛОС-1,- длина РСЛОС-2, а d - отношение тактовых частот, то внутреннее состояние генератора может быть получено по выходной последовательности длиной ), но он имеет высокую линейную сложность и обладает великолепными статистическими характеристиками.

Гаммирование. Гамма шифра. Методы генерации гаммы шифра. Линейный сдвиговый регистр.

Глава 3. Порядок регистрации отдельных актов гражданского состояния

Государственная регистрация выпуска (дополнительного выпуска) ценых бумаг.

Регистр линейного сдвига c обратной связью (Linear Feedback Shift Register - LFSR) – механизм создания псевдослучайной последовательности двоичных битов. Регистр (рис. 1) состоит из ряда ячеек, которые устанавливаются вектором инициализации (чаще всего секретным ключом). Работа регистра определяется наличием или отсутствием связи от каждого разряда к обратной связи. Отводы регистра с обратной связью не фиксированы, а являются частью ключа. На очередном шаге содержимое ячеек регистра сдвигается на одну позицию вправо, а один бит, оставшийся в результате операции XOR свободным, помещается в крайнюю левую ячейку.

Рис. 1. Линейный регистр сдвига с обратной связью

Для достижения максимального периода гаммы шифра число разрядов m сдвигового регистра выбирается равным одному из простых чисел Мерсенна (2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203 …), а внутренние связи регистра должны выбираться в соответствии с неприводимыми примитивными многочленами со старшей степенью m . В этом случае период гаммы шифра может достигать (2 m -1).

LFSR быстро работает и легко реализуется как программно, так и аппаратно. При грамотном выборе битов обратной связи генерируемые последовательности имеют хорошие статистические свойства. LFSR используется как базовый элемент для построения высоко защищенных систем.

Каскад регистров – набор LFSR, связанных таким образом, что поведение одного регистра LFSR зависит от поведения предыдущего регистра LFSR в каскаде. Такое «зависимое» поведение обычно организуется для управления с помощью первого LFSR счетчиком сдвигов следующего за ним LFSR.

Например, регистр сдвигается на один шаг, если значение предшествующего регистра – 1, а если значение 0, то регистр сдвигается на два шага или как-то иначе. Большое количество подобных сочетаний позволяет обеспечить весьма высокую безопасность.

Наиболее криптостойкие последовательности дает сжимающий генератор (shrinking generator), основанный на простом взаимодействии между результатами двух регистров LFSR. Биты одного результата определяют, будут ли соответствующие биты второго результата использоваться как часть полного «потокового ключа». Сжимающий генератор прост, масштабируем и имеет хорошие защитные свойства. Его недостаток состоит в том, что скорость генерации «потокового ключа» не будет постоянной, если не принять некоторых предосторожностей.

Метод Фибоначчи с запаздываниями Один из широко распространённых фибоначчиевых генераторов основан на следующей итеративной формуле:

где Y k - вещественные числа из диапазона

Рис. 2. Циклическое шифрование

Режим обратной связи по выходу DES может применяться для генерации псевдослучайных чисел, аналогично тому, как он используется для поточного шифрования. Выходом каждой стадии шифрования является 64-битное значение, из которого только старшие j битов подаются обратно для шифрования. 64-битные выходы составляют последовательность псевдослучайных чисел с хорошими статистическими свойствами.

Генератор псевдослучайных чисел, описанный в стандарте ANSI X9.17, является одним из наиболее криптостойких генераторов псевдослучайных чисел. В число приложений, использующих эту технологию, входят приложения финансовой безопасности и PGP.

Генератор ANSI X9.17 состоит из следующих частей (рис. 3):

1. Вход: генератором управляют два псевдослучайных входа. Первый вход является 64-битным представлением текущих даты и времени (DT i ), которые изменяются каждый раз при создании числа. Второй вход является 64-битным начальным значением, которое инициализируется некоторым произвольным значением и изменяется в ходе генерации последовательности псевдослучайных чисел (V i ).

2. Ключи: генератор использует три модуля тройного DES с двумя ключами K 1 , K 2 . Все три используют одну и ту же пару 56-битных ключей, которая должна держаться в секрете и применяться только для генерации псевдослучайного числа.

EDE

K 1 , K 2

DT i

V i

R i

V i+1

3. Выход: выход состоит из 64-битного псевдослучайного числа R i и 64-битного значения, которое будет использоваться в качестве начального значения при создании следующего числа (V i +1 ) .

Рис. 3. Генератор псевдослучайных чисел ANSI X9.17