Задание 1 построить таблицу истинности для функции. Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Основано на: демонстрационных вариантах ЕГЭ по информатике за 2015 год, на учебнике Босовой Людмилы Леонидовны

В предыдущей части 1 мы разобрали с вами логические операции Дизъюнкция и Конъюнкция , нам с вами осталось разобрать инверсию и перейти к решению задания ЕГЭ.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ста-вит в соответствие новое высказывание, значение которого противопо-ложно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ, `¯` , `¬ `

Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Инверсию иначе называют логическим отрицанием.

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения — выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логи-ческом выражении выполняются в следующей очерёдности: инвер-сия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения опе-раций можно с помощью расстановки скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнк-ция, дизъюнкция.

И так, перед нами задание №2 из ЕГЭ по информатике 2015 года

Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 F
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Каким выражением может быть F?

Значительно облегчает решение задания то, что в каждом варианте сложного выражения F только одна логическая операция: умножение или сложение. В случае умножения /\ если хотя бы одна переменная будет равна нулю, то значение всего выражения F так же должно быть равно нулю. А в случае со сложением V если хотя бы одна переменная будет равна единице, то значение всего выражения F должно быть равно 1.

Тех данных, которые есть в таблице по каждой из 8 переменных выражения F, нам вполне достаточно для решения.

Проверим выражение номер 1:

  • ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 )
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 1, если все остальные переменные равны 1 (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? )
  • по третьей строчке таблицы x4=1, х8=1 мы с вами видим что F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 ), а в таблице у нас F=1, и это значит, что выражение под номером один нам ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ .

Проверим выражение номер 2:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 0, если все остальные переменные равны 0 (? V 0 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 )
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F = 1 (1 V ? V ? V 1 V ? V ? V ? V ? )
  • по третьей строчке таблицы x4=1, х8=1 мы с вами видим что F возможно и может быть равным = 1, если хотя бы одна из оставшихся переменных будет равна 1 (? V ? V ? V 0 V ? V ? V ? V 0 )

Проверим выражение номер 3:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1 )
  • по второй строчке таблицы x1=1, х4=0 мы с вами видим что F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? ), а в таблице у нас F=1, и это значит, что выражение под номером три нам ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ .

Проверим выражение номер 4:

  • по первой строчке таблицы x2=0, х8=1 мы с вами видим что F=1 (? V 1 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 ), а в таблице у нас F=0, и это значит, что выражение под номером четыре нам ТОЧНО НЕ ПОДХОДИТ .

В решении задания на едином государственном экзамене вам нужно поступать точно таким же образом: отбрасывать те варианты, которые точно не подходят по тем данным, которые есть в таблице. Оставшийся возможный вариант (как в нашем случае вариант номер 2) и будет правильным ответом.





Сегодня мы поговорим о предмете под названием информатика. Таблица истинности, разновидности функций, порядок их выполнения - это наши основные вопросы, на которые мы постараемся найти ответы в статье.

Обычно данный курс преподается еще в средней школе, но большое количество учеников является причиной недопонимания некоторых особенностей. А если вы собрались посвятить этому свою жизнь, то просто не обойтись без сдачи единого государственного экзамена по информатике. Таблица истинности, преобразование сложных выражений, решение логических задач - это все может встретиться в билете. Сейчас мы рассмотрим более подробно данную тему и поможем вам набрать больше балов на ЕГЭ.

Предмет логики

Что же это за предмет - информатика? Таблица истинности - как ее строить? Зачем нужна наука логика? На все эти вопросы мы сейчас с вами ответим.

Информатика - это довольно увлекательный предмет. Он не может вызывать затруднения у современного общества, ведь все, что нас окружает, так или иначе, относится к компьютеру.

Основы науки логики даются преподавателями средней школы на уроках информатики. Таблицы истинности, функции, упрощение выражений - все это должны объяснять учителя информатики. Эта наука просто необходима в нашей жизни. Приглядитесь, все подчиняется каким-либо законам. Вы подбросили мяч, он подлетел вверх, но после этого упал опять на землю, это произошло из-за наличия законов физики и силы земного притяжения. Мама варит суп и добавляет соль. Почему когда мы его едим, нам не попадаются крупинки? Все просто, соль растворилась в воде, подчиняясь законам химии.

Теперь обратите внимание на то, как вы разговариваете.

  • «Если я отвезу своего кота в ветеринарную клинику, то ему сделают прививку».
  • «Сегодня был очень тяжелый день, потому что приходила проверка».
  • «Я не хочу идти в университет, потому что сегодня будет коллоквиум» и так далее.

Все, что вы говорите, обязательно подчиняется законам логики. Это относится как к деловой, так и к дружеской беседе. Именно по этой причине необходимо понимать законы логики, чтобы не действовать наугад, а быть уверенным в исходе событий.

Функции

Для того чтобы составить таблицу истинности к предложенной вам задаче, необходимо знать логические функции. Что это такое? Логическая функция имеет некоторые переменные, которые являются утверждениями (истинными или ложными), и само значение функции должно дать нам ответ на вопрос: «Выражение истинно или ложно?».

Все выражения принимают следующие значения:

  • Истина или ложь.
  • И или Л.
  • 1 или 0.
  • Плюс или минус.

Здесь отдавайте предпочтение тому способу, который для вас является более удобным. Для того чтобы составить таблицу истинности, нам нужно перечислить все комбинации переменных. Их количество вычисляется по формуле: 2 в степени n. Результат вычисления - это количество возможных комбинаций, переменной n в данной формуле обозначается количество переменных в условии. Если выражение имеет много переменных, то можно воспользоваться калькулятором или сделать для себя небольшую таблицу с возведением двойки в степень.

Всего в логике выделяют семь функций или связей, соединяющих выражения:

  • Умножение (конъюнкция).
  • Сложение (дизъюнкция).
  • Следствие (импликация).
  • Эквиваленция.
  • Инверсия.
  • Штрих Шеффера.
  • Стрелка Пирса.

Первая операция, представленная в списке, имеет название «логическое умножение». Ее графически можно отметить в виде перевернутой галочки, знаками & или *. Вторая в нашем списке операция - логическое сложение, графически обозначается в виде галочки, +. Импликацию называют логическим следствием, обозначается в виде стрелки, указывающей от условия на следствие. Эквиваленция обозначается двухсторонней стрелкой, функция имеет истинное значение только в тех случаях, кода оба значения принимают либо значение «1», либо «0». Инверсию называют логическим отрицанием. Штрих Шеффера называют функцией, которая отрицает конъюнкцию, а стрелку Пирса - функцией, отрицающей дизъюнкцию.

Основные двоичные функции

Логическая таблица истинности помогает найти ответ в задаче, но для этого необходимо запомнить таблицы двоичных функций. В этом разделе они будут предоставлены.

Конъюнкция (умножение). Если два то в результате мы получаем истину, во всех остальных случаях мы получаем ложь.

Результат - ложь при логическом сложении мы имеем только в случае двух ложных входных данных.

Логическое следствие имеет ложный результат только тогда, когда условие является истиной, а следствие - ложью. Здесь можно привести пример из жизни: «Я хотел купить сахар, но магазин был закрыт», следовательно, сахар так и не куплен.

Эквиваленция является истиной только в случаях одинаковых значений входных данных. То есть при парах: «0;0» или «1;1».

В случае инверсии все элементарно, если на входе есть истинное выражение, то оно преобразуется в ложное, и наоборот. На картинке видно, как она обозначается графически.

Штрих Шиффера будет на выходе иметь ложный результат только при наличии двух истинных выражений.

В случае стрелки Пирса, функция будет истинной только в том случае, если на входе мы имеем только ложные выражения.

В каком порядке выполнять логические операции

Обратите внимание на то, что построение таблиц истинности и упрощение выражений возможно только при правильной очередности выполнения операций. Запомните, в какой последовательности их необходимо проводить, это очень важно для получения верного результата.

  • логическое отрицание;
  • умножение;
  • сложение;
  • следствие;
  • эквиваленция;
  • отрицание умножения (штрих Шеффера);
  • отрицание сложения (стрелка Пирса).

Пример №1

Сейчас мы предлагаем рассмотреть пример построения таблицы истинности для 4 переменных. Необходимо узнать в каких случаях F=0 у уравнения: неА+В+С*D

Ответом на это задание будет являться перечисление следующих комбинаций: «1;0;0;0», «1;0;0;1» и «1;0;1;0». Как видите, составлять таблицу истинности довольно просто. Еще раз хочется обратить ваше внимание на порядок выполнения действий. В конкретном случае он был следующий:

  1. Инверсия первого простого выражения.
  2. Конъюнкция третьего и четвертого выражения.
  3. Дизъюнкция второго выражения с результатами предыдущих вычислений.

Пример №2

Сейчас мы рассмотрим еще одно задание, которое требует построения таблицы истинности. Информатика (примеры были взяты из школьного курса) может иметь и в качестве задания. Коротко рассмотрим одну из них. Виновен ли Ваня в краже мяча, если известно следующее:

  • Если Ваня не крал или Петя крал, то Сережа принял участие в краже.
  • Если Ваня не виновен, то и Сережа мяч не крал.

Введем обозначения: И - Ваня украл мяч; П - Петя украл; С - Сережа украл.

По данному условию мы можем составить уравнение: F=((неИ+П) импликация С)*(неИ импликация неС). Нам нужны те варианты, где функция принимает истинное значение. Далее необходимо составить таблицу, так как данная функция имеет целых 7 действий, то мы их опустим. Будем вносить только входные данные и результат.

Обратите внимание на то, что в данной задаче мы вместо знаков «0» и «1» использовали плюс и минус. Это также приемлемо. Нас интересуют комбинации, где F=+. Проанализировав их, мы можем сделать следующий вывод: Ваня участвовал в краже мяча, так как во всех случаях, где F принимает значение +, И имеет положительное значение.

Пример №3

Сейчас предлагаем вам найти количество комбинаций, когда F=1. Уравнение имеет следующий вид: F=неА+В*А+неВ. Составляем таблицу истинности:

Ответ: 4 комбинации.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения: Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

  1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
  2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
  3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

  • словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
  • описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
  • описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
    а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
    1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
    2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
    3) полученное произведение логически суммируется.
    Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
    ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
    б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
    КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
    1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
    2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
    3) логически перемножаются полученные суммы.
    Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
    КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.
По алгебраической форме можно построить схему логического устройства , используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
  • если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
  • если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
A не А
0 1
1 0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
A B А и B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:
A B А → B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:
A B А↔B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:
A B А⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

  • Действия в скобках
  • Инверсия
  • Конъюнкция (&)
  • Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
  • Импликация (→)
  • Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:
  1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
  2. Все логические слагаемые формулы различны.
  3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
  4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:
  1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
  2. Все элементарные дизъюнкции различны.
  3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
  4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций , а именно:

      1. действия в скобках,
      2. инверсия (отрицание ),
      3. & (конъюнкция ),
      4. v (дизъюнкция ),
      5. => (импликация ),
      6. <=> (эквивалентность ).

Алгоритм составления таблицы истинности :

1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2 n , где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).

2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).

3. Установить последовательность выполнения логических операций.

4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.

6. Записать ответ.

Пример 6

Построим таблицу истинности для выражения F =(Av B )&(¬ A v ¬ B ) .

1. Количество строк=2 2 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5.

2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v ,&, ¬ , v , ¬ ) = 7.

3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 43

(A v B ) & (¬ A v ¬ B )

4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:

А v В

¬ А

¬ В

¬ А v ¬ В

(A v B )&(¬ A v ¬ B )

0

0

0

1

1

0

6. Ответ: F =0, при A= B=0 и A= B=1

Пример 7

Построим таблицу истинности для логического выражения F = X v Y & ¬ Z .

1. Количество строк=2 3 +1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9.

2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6.

3. Укажем порядок действий: 3 2 1

X v Y & ¬ Z

4-5. Построи м таблицу и заполним ее по столбцам:

¬ Z

Y& ¬ Z

Xv Y & ¬ Z

0

0

0

0

0

0

1

0

6. Ответ:

F =0, при X= Y= Z= 0; при X= Y=0 и Z= 1.

Упражнение 8

Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1. F =(Av B )&(¬ A& ¬ B).

2. F = X&¬ Yv Z.

Проверьте себя (эталон ответов)

Обратите внимание!

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:

А) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;

Б) разделить колонкузначенийвторой переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;

В) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Тавтология - тождественно истинная формула истина " ("1

Противоречие - тождественно ложная формула , или формула принимающая значение "ложь " ("0 ") при любых входящих в нее значениях переменных.

Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных. Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .

Учимся составлять логические выражения из высказываний, определяем понятие “таблица истинности”, изучаем последовательность действий построения таблиц истинности, учимся находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Цели урока:

  1. Обучающие:
    1. Научить составлять логические выражения из высказываний
    2. Ввести понятие “таблица истинности”
    3. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
    4. Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
    5. Ввести понятие равносильности логических выражений
    6. Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности
    7. Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности
  2. Развивающие:
    1. Развивать логическое мышление
    2. Развивать внимание
    3. Развивать память
    4. Развивать речь учащихся
  3. Воспитательные:
    1. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
    2. Воспитывать аккуратность ведения тетради
    3. Воспитывать дисциплинированность

Ход урока

Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности.

Проверка домашнего задания

Записать решение домашних задач на доску
Все остальные откройте тетради, я пройду, проверю, как вы выполнили домашнее задание
Давайте еще раз повторим логические операции
В каком случае в результате операции логического умножения составное высказывание будет истинно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
В каком случае в результате операции логического сложения составное высказывание будет ложно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения, ложно тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания.
Как влияет инверсия на высказывание?
Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Что вы можете сказать об импликации?
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Обозначается А -> В
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импли­кации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Что вы можете сказать о логической операции эквивалентности?
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи “... тогда и только тогда, когда…”, “…в том и только в том случае…”
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Объяснение нового материала

Хорошо, повторили пройденный материал, переходим к новой теме.

На прошлом уроке мы находили значение составного высказы­вания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или лож­ность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значе­ний простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.

Еще раз рассмотрим наш пример с прошлого урока

и построим таблицу истинности для этого составного высказывания

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем

  1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
  • количество строк = 2 n , где n – количество логических переменных
  • Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
  • Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
  • Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
  • Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

    • Записали. Строим таблицу истинности
    Что мы делаем во-первых?
    Определить количество столбцов в таблице
    Как мы это делаем?
    Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция содержит 2 переменные
    Какие?
    А и В
    Значит сколько строк будет в таблице?
    Количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.
    А если 3 переменных?
    Количество строк = 2³ = 8
    Верно. Что делаем дальше?
    Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.
    Сколько будет в нашем случае?
    В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции - пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.
    Хорошо. Дальше?
    Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.
    Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты
    Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками

    ┐Аv┐В

    (AvB)&(┐Av┐B)

    Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значении логических переменных
    Теперь записываем пункт “Равносильные логические выражения”.
    Логические выра­жения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов­падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “,
    Докажем, что логические выражения ┐ А& ┐В и AvB равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения


    Сколько столбцов будет в таблице? 5
    Какую операцию будем выполнять первой? Инверсию А, инверсию В

    ┐А&┐В

    Теперь построим таблицу истинности логического выражения AvB
    Сколько строк будет в таблице? 4
    Сколько столбцов будет в таблице? 4

    Мы все понимаем, что, если нужно найти отрицание для всего выражения, то приоритет, в нашем случае, принадлежит дизъюнкции. Поэтому сначала выполняем дизъюнкцию, а затем инверсию. К тому же мы можем переписать наше логическое выражение AvB. Т.к. нам нужно найти отрицание всего выражения, а не отдельных переменных, то инверсию можно вынести за скобки ┐(AvB), а мы знаем, что сначала находим значение в скобках

    ┐(AvB)

    Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими. Они совпадают, следовательно, логические выражения равносильны и мы можем поставить между ними знак “=”

    Решение задач

    1.

    Сколько переменных содержит данная формула? 3
    Сколько строк и столбцов будет в таблице? 8 и 8
    Какова будет в нашем примере последовательность операций? (инверсия, операции в скобках, операцию за скобкой)

    Bv┐B (1)

    (1) =>┐C

    Av(Bv┐B=>┐C)

    2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следую­щих логических выражений:

    (А → B) И (Av┐B)

    Какой делаем вывод? Данные логические выражения не равносильны

    Домашнее задание

    Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения

    ┐A v ┐B и А&В равносильны

    Объяснение нового материала (продолжение)

    Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”, а что же такое таблица истинности , как вы думаете?
    Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.
    Как вы справились с домашним заданием, какой у вас получился вывод?
    Выражения равносильны
    Помните, на предыдущем уроке мы из составного высказывания составляли формулу, заменяя простые высказывания 2*2=4 и 2*2=5 переменными А и В
    Теперь давайте учиться составлять логические выражения из высказываний

    Запишите задание

    Записать в виде логической формулы высказывания:

    1) Если Иванов здоров и богат, то он здоров

    Анализируем высказывание. Выявляем простые высказывания

    А – Иванов здоров
    В – Иванов богат

    Хорошо, тогда как будет выглядеть формула? Только не забудьте, чтобы не терялся смысл высказывания, расставить скобки в формуле

    2) Число является простым, если оно делится только на 1 и само на себя

    А - число делится только на 1
    В - число делится только на себя
    С - число является простым

    3) Если число делится на 4, оно делится на 2

    А - делится на 4
    В - делится на 2

    4) Произвольно взятое число либо делится на 2,либо делится на 3

    А - делится на 2
    В - делится на 3

    5) Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал «допинг».

    А - спортсмен подлежит дисквалификации
    В - некорректно ведет себя по отношению к сопернику
    С - некорректно ведет себя по отношению к судье
     D - принимал «допинг».

    Решение задач

    1. Построить таблицу истинности для формулы

    ((p&q)→ (p→ r)) v p

    Объясняем сколько строк и столбцов будет в таблице? (8 и 7) Какова будет последовательность операций и почему?

    (p&q)→ (p→ r)

    ((p&q)→ (p→ r)) v p

    Посмотрели на последний столбец и сделали вывод, что при любом наборе входных параметров формула принимает истинное значение, такая формула называется тавтологией. Запишем определение:

    Формула называется законом логики, или тавтологией, если она принимает тождественно значение “истина” при любом наборе значений переменных, входящих в эту формулу.
    А если все значения будут ложны, как вы думаете, что можно сказать о такой формуле?
    Можно сказать, что формула невыполнима

    2. Записать в виде логической формулы высказывания:

    Администрация морского порта издала следующее распоряжение:

    1. Если капитан корабля получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле
    2. Если капитан не получает специального указания, то он не должен покидать порт, или он впредь лишается допуска в этот порт
    3. Капитан или лишается допуска в этот порт, или не получает специального указания

    Выявляем простые высказывания, составляем формулы

    • А - капитан получает специальное указание
    • В - покидает порт
    • С - лишается допуска в порт
    1. ┐А→(┐В v С)
    2. С v ┐А

    3. Записать составное высказывание “(2*2=4 и 3*3 = 9) или (2*2≠4 и 3*3≠9)” в форме логического выражения. Построить таблицу истинности.

    А={2*2=4} B={3*3 = 9}

    (А&В) v (┐А&┐В)

    ┐А&┐В

    (А&В) v (┐А&┐В)

    Домашнее задание

    Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинно­сти, что и не (не А и не (В и С)).

    1. АиВ или СиА;
    2. (А или В) и (А или С);
    3. А и (В или С);
    4. А или (не В или не С).