В чем состоит расчет электрической цепи. Расчет электрических цепей. Закон Ома для полной цепи

В зависимости от числа источников ЭДС (питания) в схеме, ее топологии и других признаков цепи анализируются и рассчитываются различными методами. При этом известными обычно являются ЭДС (напряжения) источников электроэнергии и параметры цепи, расчетными - напряжения, токи и мощности.

В этой главе мы ознакомимся с методами анализа и расчета цепей постоянного тока различной сложности.

Расчет цепей с одним источником питания

Когда в цепи имеется один активный элемент (источник электроэнергии), а другие являются пассивными, например резисторы /? t , R 2 ,..., то цепи анализируются и рассчитываются методом преобразования схем , сущность которого заключается в преобразовании (свертке) исходной схемы в эквивалентную и последующем разворачивании, в процессе которых определяются искомые величины. Проиллюстрируем этот метод для расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением резисторов.

Цепь с последовательным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От идеализированного источника ЭДС Е (R 0 = 0), на выходных зажимах которого имеется напряжение U, т.е. когда E=U , через последовательно соединенные сопротивления R { , R 2 ,..., R n питается нагрузка (приемник) с сопротивлением R H (рис. 2.1, а).

Рис . 2.1

Требуется найти напряжение, сопротивление и мощность цепи эквивалентной заданной, изображенной на рис. 2.1, б, делая соответствующие выводы и обобщения.

Решение

А. При известных сопротивлениях и токе напряжения на отдельных элементах цепи, согласно закону Ома, находились бы так:

Б. Общее напряжение (ЭДС) цепи, согласно второму закону Кирхгофа, запишется так:



Г. Умножив все члены (2-2) на ток / или (2-5) на Р, будем иметь откуда

В. Разделив все члены (2-2) на ток /, получим где

Формулы (2-3), (2-5), (2-7) показывают, что в цепи с одним источником питания и последовательным соединением сопротивлений эквивалентные напряжение, сопротивление и мощность равны арифметическим суммам напряжений, сопротивлений и мощностей элементов цепи.

Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.1, а с сопротивлениями /? 2 , R„ можно заменить (свернуть) простейшей по рис. 2.1, б с эквивалентным сопротивлением R 3 , определяемым по выражению (2-5).

а) для схемы по рис. 2.1, б справедливы соотношения U 3 = U = RI , где R = R 3 + R u . Исключив из них ток /, получим выражение

которое показывает, что напряжение U 3 на одном из сопротивлений цепи, состоящей из двух, соединенных последовательно, равно произведению общего напряжения U на отношение сопротивления этого участка R 3 к общему сопротивлению цепи R. Исходя из этого

б) ток и напряжения в цени но рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:

Решенные задачи

Задача 2.1. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. 2.1, а, если I = 1 A, R x = 1 Ом, Д 2 = 2 Ом, = 3 Ом, R u = 4 Ом?

Решение

Напряжения на резисторах, очевидно, будут равны: U t =IR^ = 1 1 = 1 В, U 2 = IR 2 = = 1 2 = 2 В, U n = /Л я = 1 3 = 3 В, t/ H = ZR H = 1 4 = 4 В. Эквивалентное сопротивление цепи: R 3 = R { + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Сопротивление, напряжение и мощность цепи: /? = &, + /?„ = 6 + 4= 10 Ом; U= U { + U 2 + U„+U n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, или U=IR = = 1 10= 10 В; Р= Ш= 10 - 1 = 10 Вт, или Р= UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 Вт, или Р = PR X + PR 2 + PR a + PR n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 Вт, или Р = Щ /R x +U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12 / 1 + 22/2 + 32/3 + 42 /4 = 10 Вт.

Задача 2.2. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R { = Ом, R 2 = 2 Ом, = = 3 Ом, R H = 4 Ом. Определить U 2 .

Решение

R = /?! + /?, + Л 3 + Л 4 = Л,+ Л Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, // 2 = Л? 2 = 11 2 = 22 В или U 2 =UR 2 /R = 110 2 / 10 = 22 В.

Задачи, требующие решения

Задача 2.3. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R^ = Ом, R 2 = 2 Ом, R n = = 3 Ом, R u = 4 Ом. Определить Р„.

Задача 2.4. В цепи по рис. 2.1, б известны: U= 110 В, U H = 100 В, = 2 Ом. Определить Р э.

Задача 2.5. В цепи по рис. 2.1,6 известны: U= 110 В, R t = 3 Ом, Д н = 2 Ом. Определить , при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, д), имеющей сопротивление R, определяют по закону Ома:

На практике разработан ряд методов для определения и расчета схем с постоянным током, что предоставляет возможность уменьшить трудоемкий процесс вычисления трудных электрических цепей. Основными законами, с помощью которых определяются характеристики практически каждой схемы, являются постулаты Кирхгофа.

Пути вычисления электрических схем

Расчет электрических цепей разветвляется на множество методов, используемых на практике, а именно: метод эквивалентных преобразований, прием, основанный на постулатах Ома и Кирхгофа, способ наложения, способ контурных токов, метод узловых потенциалов, метод идентичного генератора.

Процесс расчета электрической цепи состоит из нескольких обязательных этапов, позволяющих довольно быстро и точно произвести все расчеты.

Перед тем, как узнать или вычислить необходимые параметры, рассчитываемая электрическая цепь переносится схематически на бумагу, где содержатся символические обозначения входящих в ее состав элементов и порядок их соединения.

Все элементы и устройства подразделяются на три категории:

  1. Источники электропитания. Основным признаком данного элемента является превращение неэлектрической энергии в электрическую. Эти источники энергии именуются первичными источниками энергии. Вторичные источники энергии представляют собой такие устройства, на входах и выходах которых присутствует электрическая энергия. К ним относятся выпрямительные приборы или трансформаторы напряжения;
  2. Устройства, потребляющие электрическую энергию. Такие элементы преобразовывают электрическую энергию в любую другую, будь то свет, звук, тепло и тому подобные виды;
  3. Вспомогательные элементы цепи, к которым относятся провода соединений, аппаратура коммутации, защиты и другие подобные элементы.

Также к основным понятиям электрической схемы относятся:

  • Ветвь электрической схемы – участок цепи с одним и тем же током. В состав такой ветви могут входить один или несколько последовательно соединенных элементов;
  • Узел электрической схемы – точка соединения трех и более ветвей схемы;
  • Контур электрической схемы, представляющий собой любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа

Данные законы позволяют узнать силу тока и найти взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей цепи и единичных участков.

Закон Ома для участка цепи

По закону Ома соотношение тока, напряжения и сопротивления цепи выглядит как:

Исходя из этой формулы, найти силу тока можно по выражению:

  • UR – напряжение или падение напряжения на резисторе;
  • I – ток в резисторе.

Закон Ома для полной цепи

В законе Ома для полной цепи дополнительно используется величина внутреннего сопротивления источника питания. Найти силу тока с учетом внутреннего сопротивления возможно по выражению:

I=E/Rэ = E/r0+R, где:

  • E – ЭДС источника питания;
  • rо – внутреннее сопротивление источника питания.

Поскольку сложная электрическая цепь, состоящая из нескольких ветвей и имеющая в своей структуре ряд устройств питания, не может быть описана законом Ома, то применяют 1-ый и 2-ой закон Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа гласит, что сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него, это выглядит как:

∑mIk=0, где m – число ветвей, подведенных к узлу.

Согласно закону Кирхгофа, токи, втекающие в узел, используются со знаком «+», а токи, вытекающие из узла, – со знаком «-».

Второй закон Кирхгофа

Из второго закона Кирхгофа следует, что сумма падений напряжений на всех элементах цепи равна сумме ЭДС цепи, выглядит как:

∑nEk=∑mRkIk=∑mUk, где:

  • n – число источников ЭДС в контуре;
  • m – число элементов с сопротивлением Rk в контуре;
  • Uk=RkIk – напряжение или падение напряжения на k-том элементе контура.

Перед применением второго закона Кирхгофа следует проверить выполнение следующих требований:

  1. Указать относительно положительные направления ЭДС, токов и напряжений;
  2. Указать направление обхода контура, описываемого уравнением;
  3. Применяя одну из трактовок 2-го закона Кирхгофа, характеристики входящие в уравнение используются со знаком «+», если их относительно положительные направления схожи с обходом контура, и с «-», если они разнонаправленные.

Из 2-го закона Кирхгофа следует выражение баланса мощностей, по которому мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемых на всех участках цепи. Уравнение баланса мощностей имеет вид:

Метод преобразования электрической цепи

Элементы в электрических цепях могут соединяться параллельно, последовательно, смешанным способом и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет таких схем упрощается путем замены нескольких сопротивлений на эквивалентное сопротивление, и дальнейшие вычисления уже проводятся по закону Ома либо Кирхгофа.

Под смешанным соединением элементов подразумевается одновременное присутствие в схеме и последовательного, и параллельного соединения элементов. При этом сопротивление смешанного соединения вычисляется после преобразования схемы в эквивалентную цепь с помощью формул, приведенных на рис. выше.

Также встречается соединение элементов «звездой» и «треугольником». Для нахождения эквивалентного сопротивления необходимо первоначально преобразовать схему «треугольник» в «звезду». По картинке ниже, сопротивления равны:

  • R1=R12R31/R12+R31+R23,
  • R2=R12R23/R12+R31+R23,
  • R3=R31R23/R12+R31+R23.

Дополнительные методы расчета цепей

Все дополнительные методы расчета цепей в той или иной мере являются или основаны на первом и втором законах Кирхгофа. К этим методам относятся:

  1. Метод контурных токов – основан на введении дополнительных величин контурных токов, удовлетворяющих 1-му закону Кирхгофа;
  2. Метод узловых потенциалов – с его помощью находят потенциалы всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токи во всех ветвях. Метод базируется на первом законе Кирхгофа;
  3. Метод эквивалентного генератора – этот метод предоставляет решение задачи, как найти ток только в одной или нескольких ветвях. Суть метода в том, что любую электрическую цепь по отношению к исследуемой ветви можно представить в виде эквивалентного генератора;
  4. Метод наложения – основан на том, что ток в цепи или ветви схемы равен алгебраической сумме токов, наводимых каждым источником в отдельности.

Основная часть методов расчета направлена на упрощение процедуры определения токов в ветвях схемы. Эти мероприятия проводятся либо упрощением систем уравнений, по которым проводятся расчеты, либо упрощением самой схемы. Основываясь, в первую очередь, на постулаты Кирхгофа, любой из методов отвечает на вопрос: как определить силу тока и напряжение электрической цепи.

Видео